高阶柯西中值定理中间点的渐近性及误差估计-论文.pdf

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1、第17卷第1期高等数学研究Vo1．17，NO．12014年1月STUDIESINC0LLEGEMATHEMAT1CSJan．，2014DOI：10．3969／j．issn．1008——1399．2014．O1．005高阶柯西中值定理中间点的渐近性及误差估计刘丽娜(徐州经贸高等职业学校信息技术系，江苏徐州221004)摘要利用洛必达法则研究长度趋于零和长度趋于无穷大的两类区间上高阶柯西值定理中间点的渐近性及其误差估计．关键词中值定理；中间点；渐近性；洛必达法则；误差估计中图分类号O172．1文献标识码A

2、文章编号1008—1399(2014)01—0022—07AsymptoticPropertiesandErrorEstimationofIntermediatePointinerOrderCauchyMeanValue1l1嘲锄LIULina(InformationTechonologyInstitute，XuzhouHigherVocationalSchoolofEconomy&Trading，Xuzhou221004，PRC)Abstract：Inthispaper，usingL’Hospita

3、l’Srule，theasymptoticpropertiesanderrorestimationoftheintermediatepointinthehigherorderCauchymeanvaluetheoremoveranintervalwithlengthgoestozeroorinfinityarepresented．Keywords．meanvaluetheorem，intermediatepoint，asymptoticproperty，L’Hospital’Srule，errores

4、timatjonCauchy中值定理在微积分理论中占有非常重n(_1)一)一要的地位，其应用也愈来愈广泛．近年来，对Cauchy中值定理中间点的渐近性研究取得了一些新的进)()．展．文[1—2]首先给出了高阶Cauchy中值定理的形引理2(高阶Cauchy中值定理)设函数_厂(z)式；在此基础上，文[3—7]讨论了当区间长度趋于零和g(z)在闭区间[n，6]上连续，在开区间(n，6)上时Cauchy中值定理中间点的渐近性；文E8]则研究阶可导，且只要假定在(n，6)上有g’(z)≠0，则存了当区间长度

5、趋于无穷大时Cauchy中值定理中间在E(口，6)，使得点的渐近性；文[9]对Cauchy型积分中值定理中间奎(-lYC6一)点的渐近性的误差进行了估计．本文在相关文献的j=0㈨㈣基础上，得到了高阶Cauchy中值定理中间点在两类(-lYC，g(b一)j=0区间(即区间长度趋于零以及区间长度趋于无穷大)上的渐近性，并对其误差进行了分析．引理3m∑(一1)Cj(n-j)一!，引理1(高阶Lagrange中值定理)_l_。]设函数_厂(z)在闭区间[n，6]上连续，在开区间(口，6)上阶∑(一1)(-j)

6、计一1(+1)!．可导，则存在E(n，6)，使得定理1设函数，(￡)和g()在[口，6]上连续，在(n，6)上m+阶可导，g()≠0，g(￡)在点a收稿日期：2013-03—17；修改日期：2013—08—04基金项目：国家自然科学基金(11171285)连续，另记作者简介：刘丽娜(1978-)，女，江苏新沂人，讲师，从事高等数学教一，学与研究．Email：33576952@qq．corn第17卷第1期刘丽娜：高阶柯西中值定理中间点的渐近性及误差估计23若有∑(一1)JC~(一)g‘(口)‘m’(口)

7、(n)=(口)：⋯=‘一l(口)=0，o_—————————————一n．0(、4^)，‘’(口)≠0，m!Ⅱ(+志)那么，对任意∈(n，6)，以[口，]代替[口，，应用^=l另一方面，任给z∈(口，6)，在[口，x3上对，(z)引理2，其中的(z)∈[口，z]满足及g(￡)应用引理1和引理2，有limF(x)==一一，三二a。：’(1)az4／z—⋯‘其中匦lim，(5)．一f＼兰二二垒，1”⋯于=奎(一1)JC~f(x-)，i=O0。’其中拿∈(口，z)，()∈(口，z)．=c一C，g(x-．对(

8、)在t一口处Taylor展开，根据定理所给j=0条件有对式(1)两端取极限，连续次使用L’Hospital法(一(口)+身(一n)，limF(x)=lira其中∈(口，)．将上式代入式(5)，取极限后有+⋯z一4+p4／x—N—a⋯(一g(，I)limF(z)：lim!二：：一(一舌)”一一计lim×()(m+k)(z一口)~-)(口(口)lim(a)．(6)z⋯一)[一一]}．㈤比较式(4)与式(6)，即可得待证结果．在定理1中，若令：==2，则有以下