【硕士论文】几类抽象方程组解的存在理论及应用.pdf

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1、摘要非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它能够清楚地解释自然界中很多自然现象，因而受到了越来越多的数学家与数学工作者的关注．其中，非线性问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一．本论文主要讨论了一阶混合型非线性积．微分方程，无穷区域上的非线性脉冲积一微分方程以及Banach空间中非线性积一微分方程组解的存在性，全文共分四章．第一章，前言部分，主要介绍了选题来源、研究意义、国内外研究现状，以及论文的主要研究内容和目标．第二章，利用新的比较原理和上下解方法，讨论了一阶混合型积一微分方程积分边值问题，并改进了某些已有的结果．第三章，利

2、用锥理论和单调迭代方法，研究了Banach空间中无穷区域上一类二阶脉冲积一微分方程的初值问题极值解和唯一解的存在性．第四章，利用锥理论和上下解方法，研究了Banach空间中非线性积一微分方程组初值问题唯一解的存在性，对某些已有结果作了推广和改进．关键词：积一微分方程(组)，积分边值问题，初值问题，单调迭代技巧，上下解方法中国石油大学(华东)硕士学位论文第一章前言1．1课题研究背景及其研究意义在微分几何和数学物理以及其它领域里，很多问题都可以概括为抽象空间中的问题，进而归结为与抽象方程(组)解有关的问题．抽象空间中的各类方程(组)是数学及其它自然科学中具体问题提取的数学模

3、型的高度概括和统一．将具体问题概括为抽象空间方程(组)问题，其本质在于：用函数空间的语言把所给问题加以改写；然后，借助泛函分析方法对这个抽象问题尽可能完善的加以分析：最后再把所得结果进行“翻译’’，以回到原来的问题．这种方法去掉了无关紧要的枝节，更易于揭示和分析问题的核心，而且表面上看来不同的问题可以用同一空间理论来处理．因此有关抽象空间的一些问题也就显得非常重要，而其方程(组)解的问题又是研究空间问题的核心问题．不但它对数学的基础理论有着推动作用，而且应用于解决几何学与物理学中的一些实际问题，推动自然学科的发展．另外，自然科学和工程技术中大量非线性现象又为抽象空间方程

4、(组)的发展提供了基本素材．利用抽象空间各类方程(组)，对问题进行研究和解析是一个十分巧妙而又应用广泛的方法．在许多数学领域中也正是由于这些应用，才使得抽象方程(组)理论得以更加迅速发展．另外，非线性泛函分析理论的研究及完备化具有非常重要的意义，尤其是近几十年来，国内外的许多研究学者对非线性问题的研究做了大量工作．郭大钧先生在专著【11中对非线性泛函分析的几个重要课题及其应用，诸如某些经典的非线性算子、Hammerstein型积分方程、常微分方程和偏微分方程、迁移方程、锥理论及非线性算子方程的正解、非线性算子拓扑度和不动点以及固有值、解的个数与分支，都做了系统的概括和总

5、结．文【2J中利用锥理论讨论了多种非线性问题，主要是近些年来发展起来的最新成果．文【31贝0讨论了各种多样的积分方程解的存在性．其中内容可谓是丰富多彩，包括了非线性泛函分析这一领域各个方面的成果．本课题正是在上述背景下提出的，通过研究抽象空间中几类方程(组)解的理论，希望找到使相应方程(组)解存在且较容易验证或检验的条件；同时努力构造逼近一致收敛于解的迭代序列，以及给出相应的误差估计式．中国石油大学(华东)硕士学位论文1．2国内外研究现状分析抽象空间中的常微分方程是近些年来发展起来的一个新的教学分支，它把微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究抽象空间的

6、微分方程．郭大钧和孙经先合著文献【5】是这一课题的集大成之作，概括了Banach空间常微分方程理论．文【6l全面综述了抽象空间内非线性微分方程各个分支的内容，包括证明解的存在性时所使用的方法以及解的某些性质，文171则是一篇综合报告，概括了微分方程发展的一些最新成果．在专著【11中，郭大钧先生对非线性泛函分析的几个重要课题和应用作了系统的概括和总结．文献【101在抽象空间中研究了各种非线性积分方程解的存在性和唯一性问题．文献[3,4,8-10,14-21,23，241讨论了多种非线性问题，主要是近些年来发展起来的一些最新成果，包括了非线性分析这一领域各个方面的成果．文酬

7、9】则利用非线性分析研究常微分方程解的存在性，唯一性及多解性，其中使用了非线性泛函分析中的理论和方法，例如拓扑度理论，半序方法，上下解方法等．研究解的存在性的理论方法有多种：压缩映象原理、变分原理、单调算子理论、不动点理论、拓扑度理论．但其侧重点不一样．其中，压缩映象原理重点在于讨论非线性算子方程解的存在性与唯一性；拓扑度方法要求算子全连续且只能给出解在特定意义下的存在个数．现阶段，单调迭代方法、上下解方法以及拓扑度方法是研究热点．利用上下解方法、单调迭代方法不仅可以得出解的存在性，而且可以获得方程的最大解、最小解以及一致收敛于解的迭代逼