几类二次约束二次优化问题的全局最优性条件

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1、兰州大学2008届硕士学位论文1．1．引言第一章绪论全局优化问题是数学规划理论中重要而又困难的一个研究领域，它研究的是非线性函数在某个区域上全局最优点的特征和计算7y,法E191。因为在科学研究、工程技术中的许多问题都依赖于用数值方法寻求相应问题的全局最优解，但在实际应用中，却通常存在多个不同的局部最优解，所以传统的非线性规划技术不能被应用于求解全局优化问题(参见文E7，9，1l，19，23，3l】)；另一方面，由于至今人们对问题还缺乏足够的了解，导致绝大多数算法是以最优解所必须满足的条件(如非线性规划的一阶一：阶最优性条件)为基础而设计的。因此，对各种优化问题的全局最优性条件的研究是非

2、常重要的。从数学的角度来看，现实生活中有很多问题是优化问题，比如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案既满足设计要求又能降低成本：资源分配时，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的要求，又能获得好的经济效益；生产计划安排时，选择怎样的计划方案才能提高产量和利润；城市规划中，怎样安排工厂、学校、机关、医院、商店、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例才能提高产量和利润，降低成本：军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的布局；在人类活动的各个领域中，此类问题不胜枚举。所有这些问题

3、都可以抽象地描述成：决策变量受到一定限制(也可能没有限制)的条件下，求出人们所关心的某个目标的最大值或最小值。由于求函数f(x)的极大值等价于求一f(x)的极小值，所以，优化问题的一般数学模型总是可以表示成如下集约束形式：’minf(x)svt．x∈D其中，函数厂(曲称为目标函数，可以是线性或是非线性函数；集合D称为可行集或可行域，可以是整个空间R“，也可以是其子集，D中的任意点称为可行点；决策兰州大学2008届硕士学住论文变量z可以取连续值也可以部分或全部取离散值。这些情况的不同组合就导致了不同的优化问题。定义1．1．1设DcR“是一个非空闭集，f(x)：R“_R在D上连续。若存在矿∈

4、D，使得厂(石枣)≤厂O)(或f(x木)0}．使得对一切x∈oFIM(x·)均有／(矿)≤f(x)(或f(x奉)

5、发展，它们也是各种局部优化算法的理论基础。同样，全局最优性条件对全局优化问题的研究也是至关重要的。对于凸规划问题，即目标函数是凸函数，可行域是凸集的极小化问题，它的局部极小点就是全局极小点，因此，凸规划问题的局部最优性条件就是全局最优性条件，一般的求局部极小点的方法可以用来求全局极小点。但是，对于非凸优化问题，求解和验证全局最优解是一件非常棘手的事情。现有的文献表明，解决全局优化问题的方法与通常的非线性规划的工具是很不相同的(参见文【1，4，1l，12，13，18，31】)。本文将主要讨论一类具有特殊结构的全局优化问题：带二次约束的二次规划问题。这类问题在数学规划理论中占有重要地位。由于

6、二次函数是非线性函数中一类较为简单的函数，而且很多函数可以用二次函数来逼近，所以对二次问题的研究将有助于对一般非线性问题的研究；同时二次约束二次规划问题在科学和技术领域也有很多重要应用，所以，无论是在局部优化问题还是全局优化问题的研究，二次约束二次规划问题始终得到了广泛的重视，近几年来也取得了一系列的成果。鉴于此，在下面我们首先简要介绍了研究全局最优性条件的必要性和研究现状，然后引入了函数L．次微分的概念，在此基础上根据文【2，6】给出了一般带二次约束二次规划问题2兰州大擘2008届硕士学位论文的全局最优性拉格朗日乘子最优性条件。根据不同二次约束的特殊结构在第二、三、四章我们分析和证明了

7、几类问题全局最优性的一些充分条件、必要条件以及充要条件。1．2．研究全局最优性条件的必要性和研究现状在这一节，我们将简单介绍一下在全局优化研究领域中关于全局最优性条件的一些成果。优化问题的最优性条件在优化理论和算法中占很重要的位置。全局最优必要性条件是刻画一个解不是全局最优解的基本工具，而充分性条件是刻画一个解是全局最优解的基本工具【们。在非线性规划理论中，KKT条件、二阶充分条件等都是局部最优性条件；而在全局优化领域，文献[12，