关于几乎差集

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1、§l薯I言本节给照阉题遗背景、基本概念和符号，著综述巴有瓣结果。本文中zⅣ均为模Ⅳ剩余类加群。设C是互Ⅳ酶一个子集，定义C的一个特征(二元)序列s。o为：《．一Jl，i(roodⅣ)∈C，“一{0，其宪。称C为s*的特征集，Ⅳ为s。。的周期(不一定是最小正周期)。阀祥地，我们可以从一个具有周期的序列得到它的特征集。定义序列s。的自相关遵数为：G(”)=∑(一lp”。‘．i∈以称序列s。。是伪随机的，如果序列中的0与1的个数几乎相同。伪随机序列在全球定鼓系统、码分多疑透信系统(CDMA)、雷这系统、扩蔟通镑琴

2、统及痔列密码学等有重要应用降，11，12，13，14】。然而，在许多应用中要求二元序列具有好的自相必性质(即序列的自相关函数的取值个数尽可能的少)。设G是序到So。的特征集，定义s”的差函数为：蠡(钮)=l(秽+钳)ng}，其中C+"={。+wix∈G)。序列曲巍糖关函数和窀的特征集的麓遵数有如下荧系：亏l理1．t闲G(铆)～N4(k磊(饼))，这里k=

3、C

4、。设C怒z_Ⅳ的一个＆冗子集，称C为ZN的一个(Ⅳ'≈，^)一差集(differenceset)，如果对每个ZN中的非零元W，同余方程。一Yiw(mo

5、dNl恰有A个解(X，Y)∈C×C。以下结论是显然的：莩l理1．2设C是ZN戆一个(N，k，A)一差集，s”是获C为转缝集装薅程序列，则G(”)={ⅣN’一4婶一氓w其=它O．各称此时序列so。有2缎自相关函数。由引理1A知，序列S*有2级自相关函数当且仅当它的特征袋C是一个差集。霞姥，鞠造薅囊碧N鳃吴套2毁蜜穗关函数魏二元彦囊等蚤予祷遣z封土曲差集。差集是～类十分重嚣的组合结构，对其研究已十分渫入，有关赣撩的研究结果参见{15，糙；。但对未婪强，它季存在燕集。例如，誊Nj1(rood4)黠’不存在zⅣ土姆

6、(Ⅳ'o≯，o≯)一差集，窝不存在-9乏对浅海餍鬻秃N的具有2囊童相关函数的=元序列。此时最优的二元序列具有3驻自相关函数，即它的自相关函数是3值的。它对应蒋本文所讨论的组合结构一～几乎差集。设渔，丰)是一争目酚随更枣群，G是宪舞一夺奄元子集。嚣g竟(#，k，盂，})一几乎差集(almostdifferenceset}，虹暴对t个A中的非零元∞，差蕊效de(∞)取傣A，而对其余的n—t—1个非零元d。(")取值A+1。以下把(n，k，^，t)-几乎差集夔记为(他k，A，t)-ADS。这夺定义交Arasu苓人

7、}1】给窭。它统一了在趣之裁Davis鏊静D趣g等天{3l关于几乎羧集的定义，事实上它们都楚上面定义的几乎差集的特倒。当t=n—l时的几乎艘集即为差集，因此几乎差熊是差集的一个燮种。秘：农承孛，C={l，鸯是一个《5，2，诲鸯一ADS。显然蛾，若G是一个(％≈，天，t)一ADS，焱对}个A中菲零元钳，方程$一Y溺w(modN)怪骞孟个髅(文舞∈g×C，薷对其余n--t--I夺嚣零元，方程馨褰爻÷1夺藤。若存在(％k，A，t)一ADS，很显然她有以下的必撩条件：类啾予箍集，我们稚下面这个基本鳍论：定理1．3【

8、1】C是伸阶阿贝尔群(A，十)上的一个(忭，≈，^，t)一ADS当且仅当C4=A＼C楚一个{嚣；嚣一k，％一2玉+^，t)一ADS。在已露姆尼乎差纂瓣橡造孛，夯觏方法起了袭大鲸律蕉。设q=嘶+1是一个素数幂，8怒GF(q)的一一个原根，Dr4’。<0“>是OF(q)‘；GF(口)＼{o)中由∥生成的一个，阶乘法子群。则af(q)+有以下的陪巷集分解：GF(q)+=u。d：-01DP’，其中D≯9)=OiD(od，w，0≤i≤d一1。称陪集D≯。’(t=0，1，⋯，d一1)为d阶分圆类。定义(f，m)d=f(

9、叫“，9)+1)nD磐，g’f．称(f，m)d为关于GF(q)的d阶分圆数。以下综述关于几乎差集的已知结果：定理1．4[1，4，5，6，7]存在下面这些几乎差集：(1)设素数q；l(mod4)，则D铲’4’构成(q，吐2，学，譬)一ADS。(2)设素数g=25+4y2或g=9+4y2，则D扩’9’构成(g，吐4，紫，譬)一ADS。(3)设素数口：1+4∥2或q=49+4y2，则Dr’4’u{o)构成(口，字，案，孚)一ADS。(4)设素数qi41(mod64)且存在整数Y及b使得q=192+4y2=l+2b

10、2，或，qi41(mod64)且存在整数Y及b使得q=132+4y2=l+2b2，则D∥构成(g，孚，臀，孚)一ADS。(5)设素数q：z2+4且zil(m。d4)，则对所有的i，D：4'9’uD；(+4,．q’构成(q，孚，譬，孚)一ADS。设素数q；5(rood8)，则q=52+4t2，这里s；士l(mod4)【7】。令D：4'。’(i=0，l，2，3)为GF(g)的4阶分圆类。定理1．5【3】设i，J，f∈