中考压轴题二次函数之因动点产生的直角三角形问题精品解析

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1、中考压轴题之【因动点产生的直角三角形问题】精品解析———————————————————————————————————————中考压轴题之【因动点产生的直角三角形问题】精品解析【例1】（山西省中考第26题）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时

2、，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．满分解答（1）由，得A(－2,0)，B(8,

3、0)，C(0,－4)．（2）直线DB的解析式为．由点P的坐标为(m,0)，可得，．所以MQ＝．当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．16中考压轴题之【因动点产生的直角三角形问题】精品解析———————————————————————————————————————解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．所以四边形CQBM是平行四边形．图2图3（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．考

4、点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为．①如图3，当∠DBQ＝90°时，．所以．解得x＝6．此时Q(6,－4)．②如图4，当∠BDQ＝90°时，．所以．解得x＝－2．此时Q(－2,0)．图3图416中考压轴题之【因动点产生的直角三角形问题】精品解析———————————————————————————————————————【例2】（广州市中考第24题）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的

5、面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4,0)、B(2,0)．对称轴是直线x＝－1．（2）△ACD与△ACB有公共

6、的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，点D的坐标为．因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．16中考压轴题之【因动点产生的直角三角形问题】精品解析———————————————————————————————————————图2图3（3）过点A、B分别作

7、x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．联结GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．所以点M1的坐标为(－4,6)，过M1、E的直线l为．根据对称性，直线l还可以是．考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE

8、＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．16中考压轴题之【因动点产生的直角三角形问题】精品解析———————————————————————————————————————【例3】（杭州市中考第22题）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2