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1、习题二-10-作业2（修改2008－10）4.掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为,若以表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求的概率分布.解对于,前次出现正面,第次出现反面的概率是,前次出现反面,第次出现正面的概率是,因而有概率分布,.5.一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.第1个能正确回答的概率是,第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是,前2个不能正确回答,
2、第3个能正确回答的概率是,前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是,前4个都不能正确回答的概率是.设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为,则有分布01235/815/565/561/566.设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解设一天中某人收到位朋友的电子邮件,则,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是.1)用二项分布公式计算.2)用泊松近
3、似律计算.10习题二-10-8.设服从泊松分布,分布律为.问当取何值时最大？解设,,则,数列是一个递减的数列.若,则最大.若,则当且时,最大.由此得1)若,则最大.2)若,则.由上面的1)和2)知,无论或,都有.12.设随机变量的概率密度为.求的分布函数,并作出与的图形.解.11.设随机变量的概率密度为.求常数和的分布函数,并求概率.10习题二-10-解,...15.设随机变量的密度为.求常数.解.由上式得.15.离散型随机向量有如下的概率分布:012300.10.10.10.1100.10.10.12
4、000.10.2求边缘分布.又问随机变量是否独立？解有分布0120.40.30.3有分布01230.10.20.30.4因为,所以,不独立.18．设随机向量服从矩形10习题二-10-上的均匀分布,求条件概率.解,,.22.随机向量有联合密度,其中.求系数和落在圆内的概率.解因而.而.27.设,分别找出,使得.其中,,,.解1..10习题二-10-代入的值查得,,.解2设,则...代入的值查得,,.28.某商品的每包重量.若要求,则需要把控制在什么范围内.解设,则...28.设服从自由度为的分布,即有密度
5、.求的密度.解1当时,,.当时,,.因而10习题二-10-.解2设,则.设,,则有反函数,,其中.因而有密度.29.由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布,即密度为.其中参数.求分子的动能的密度.解1当时,,.当时,,.因而.解2设,则.设,,则有反函数,,其中.因而有密度10习题二-10-.30.设服从上的均匀分布,.求的分布.解有密度.有分布函数.31.质点随机地落在中心在原点,半径为的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解设落点极坐标是,则服从上
6、的均匀分布,有密度.设落点横坐标是,则,的分布函数为.当时,.当时,.当时.因而落点的横坐标有概率密度..10习题二-10-34.设随机变量服从在上的均匀分布,求的分布.解设,则.设,,则有反函数,,其中.因而有密度.36.设和独立,密度分别为和,求的密度.解.37.设系统由两个相互独立的子系统联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统损坏时,系统开始工作),如图7.1所示.和的寿命为和,分别有密度和,其中且.请就这三种联接方式分别写出系统的寿命的密度.解,独立,分别服从参数为和的指数分布,因此
7、分别有分布函数和.10习题二-10-1)联接的方式为串联时,,,.2)联接的方式为并联时,,,.3)联接的方式为备用时,,.因此,当时,,当时,.38.相互独立,,.证明.(提示:称为函数,由微积分的知识知)解(见命题A.2.1)43.设独立,都服从参数为的威布尔分布,即都有密度.证明仍服从威布尔分布.证有分布函数,.10习题二-10-设,则有分布函数.,接下来的证明过程可以有两种。其一：与有相同的形式，从而仍服从威布尔分布.其二：因而有密度函数,从而仍服从威布尔分布.10
