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1、第二章设施选址10.一家银行准备在某县的农村地区投放一批ATM自动取款机，以方便农村的用户取款。该农村地区的村落座落情况和相对距离如图2.13所示。为了能确保任一村的人都可以在20分钟之内到达自动取款机取款，银行需要多少台自动取款机？它们的位置又在哪里?图2.13村落座落情况和相对距离要点：1.明确N，M，A(j)，B(i)含义；2.A(j)分析正确后，B(i)可参照A(j)直接写出，无需再看网络图；3.熟悉最少点覆盖启发式算法的步骤，考虑是否有容量约束。解：【集合覆盖模型】区域中需求点集合N={1,2,3,4,5,6,7}；ATM取款机设施候选点集合M={1
2、,2,3,4,5,6,7}；由网络图确定候选设施点j可覆盖的需求点集合A(j)和可覆盖需求点i的设施节点的集合B(i)，见表2.10.1。2.10.1候选点服务范围村落号A(j)B(i)11,2,31,2,321,2,4,51,2,4,531,3,41,3,442,3,4,6,72,3,4,6,752,5,62,5,664,5,64,5,674,74,7因为A(4)={2,3,4,6,7}，
3、A(4)
4、=5为最大，故首先j'=4。因无容量约束，指派2,3,4,6,7归村落4服务。此时N={1,5}，M={1,2,3,5,6,7}；则更新候选点服务范围，见表2.
5、10.2。2.10.2更新后的候选点服务范围村落号A(j)B(i)111,2,321,5314552,5,6657因为A(2)={1,5}=N，恰好满足条件。则j'=2。综上所述，银行需要2台自动取款机，分别至于村落号为2和4的位置，2号为1,5村落服务，4号为2,3,4,6,7村落服务。11.—个临时帮助服务中心计划在一个大城市的郊外开设一个新的办公室。在经过一定的精简之后，该公司有5个大的合作伙伴。在一个以km为单位的笛卡尔坐标系中，它们的坐标分别为：(4，4)，(4，11)，(7，2)，(11，11)，(14，7)。它们的服务需求量的权重分别为：wl=3
6、，w2=2，w3=2，w4=4，w5=1。对于该服务中心来说，主要的日常费用是他们员工完成任务过程中的运输费用。因此，用城市距离进行考虑，要求新的办公室到各个合作伙伴之间运输的运输费用最小。1）请确定一个新办公室的地址，用笛卡尔坐标来表达相应结果。2）如果由于该地区的人口稀少，城市还没有达到一定的规模，可以用欧几米德距离进行计算，新办公室又得在哪里投建?请比较两次结果，分析它们之间的关系。要点：1.补充交叉中值模型知识点关键句：将n点需求的选址问题转化为i=1nwi点需求的选址问题。2.笛卡尔距离即直角距离，欧基米德距离即直线距离；3.重心法：初始化+迭代公式
7、+Excel/C编程/matlab编程迭代+迭代终止条件解：（1）设新办公室的地址的坐标为(x,y),给题目已知的5个点编号1~5。由于笛卡尔距离di=
8、x-xi
9、+
10、y-yi
11、。则目标函数为时总运输距离H最短。H=i=15widi=i=15wix-xi+i=15wi
12、y-yi
13、xiwiwiyiwiwi43343342511257272271141111411141127112wi=12为偶数，即x,y均在第六个、第七个点之间。可得x=7，y∈7,11。H=81。（2）设初始点为（x0，y0）有题意得，阿基米德距离为di(0)=(x0-xi)2+(y0-yi)
14、2,目标函数H(运输总费用)=i=15widi,利用不动点算法，取一个初始的迭代点（x0(0),y0(0)）=(8,7),此时H0=62.51令x0(1)=i=15wixidii=15xidi,y0(1)=i=15wiyidii=15yidi,di(1)=(x0(1)-xi)2+(y0(1)-yi)2H1=i=15widi(1)=62.14由EXCEL迭代得，结果如图费用结果保留四位小数得最优解为x=7.6257,y=7.6047,此时费用最小为H=62.1020（3）比较两次结果可知欧基米德中的费用小于笛卡尔距离，因直线距离是＜直角距离，因此用欧基米德距离更
15、为精确。直角距离比较适合于城区范围内的选址，欧基米德距离比较适合于远距离的选址。12.一台机器工具小制造商要迁址，并确定了两个地区以供选择。A地的年固定成本为800000元，可变成本为14000元/台；B地的年固定成本为920000元，可变成本为13000元/台。产品最后售价为17000元/台。（1）当产量为多少时，两地的总成本相等？（2）当产量处于什么范围时，A地优于B地？当产量处于什么范围时，B地优于A地？解：答：设x为之制造商的年产量A地，总成本C(A)=800000+14000xB地，总成本C(B)=920000+13000x1)若两地成本相等，则C(
16、A)=C(B)解得：x=1202）若A
