正余弦定理 练习题

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1、.正弦定理余弦定理3.141．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(　　)A.B.C.D.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于(　　)A.B.C.D.4．在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为(　　)A.B．－C.D．－5．(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△AB

2、C的面积是(　　)A．3B.C.D．3[答案]　C[解析]　由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.(理)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)A.B.C.D.[答案]　C[解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，...由正弦定理，＝，∴sinA＝＝＝.6．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大

3、小关系为(　　)A．x≤yB．xyD．x≥y[答案]　C[解析]　y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，∵△ABC为锐角三角形，∴cosC>0，∴y－x<0，∴y

4、＝1，C＋＝，C＝.8．(文)(2015·郑州市质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)A.B.C.D.或...[答案]　D[解析]　由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，则∠A＝，则B＝，b＝＝，∴S△ABC＝bc＝××＝；若∠A≠，则sinB＝3sinA，由正弦定理得：b＝3a，又由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋9a2－3a2＝7a2，∴a＝1，b＝3，S△ABC＝

5、absinC＝×1×3×＝，选D.(理)(2015·衡水中学三调)已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.二、填空题9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案]　15[解

6、析]　设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.[方法点拨]　有关数列与三角函数知识交汇的题目，利用正余弦定理将数列关系式或数列问题转化为三角函数问题，用三角函数知识解决．10．(文)(2014·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．...[答案]　2[解析]　本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得

7、，＝，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，S＝×2×2＝2.(理)(2014·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．[答案]　－[解析]　∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，又∵b－c＝a，∴b＝a，c＝a，∴cosA＝＝＝－.11．(2015·南京二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，BD⊥AC，D为垂足，则·的值为________．[答案]　[解析]　利用余弦定理求出AC的长度，再利用面积公式求出BD，最后利

8、用数量积的定义求解．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝4＋9－2×2×3×＝7，所以AC＝，由△ABC的面积公式可得×2