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1、XX文科数学回归教材6数列教学资料 新课标——回归教材 数列 数列的概念:数列是一个定义域为正整数集的特殊函数数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 典例:1)已知,则在数列的最大项为; )数列的通项为,则与的大小关系为; )数列的通项为,若递增,则实数的取值范围; )一给定函数的图象在下列图中,并且对任意,由关系式得到的数列满足,则该函数的图象是 ABcD 等差数列的有关概念: 等差数列的判断方法: ①定义法、 ②等差中项法. 典例:设是等差数列,求证:以bn=为通项公式的数列为等差数列. 等差数列的通项:或. 典例:1)等差数列中,,,则通项; )
2、首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是; 等差数列的前和:,. 典例:1)数列中,,,,则-3,=10; )已知数列的前n项和,求数列的前项和. 等差中项:若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且. 提醒:等差数列的公式中,涉及到5个元素:其中称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2. 为减少运算量,要注意设元的技巧: 如奇数个数成等差,可设为…,…; 偶数个数成等差,可设为…,,… 等差数列的性质: 当公差时,等差数列的 ①通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差; 所以,1)若公差,则为递增等差数
3、列; )若公差,则为递减等差数列, )若公差,则为常数列. ②前和是关于的二次函数且常数项为0. 提醒:若时,不是等差数列,但从第二项起为等差数列. 当时,则有,特别地,当时,则有. 典例:1)等差数列中,,则＝27; )在等差数列中,,且,是其前项和,则 A.都小于0,都大于0B.都小于0,都大于0 c.都小于0,都大于0 D.都小于0,都大于0 若,是等差数列,则、、、,…也成等差数列,而成等比数列;若是等比数列,且,则是等差数列. 典例:等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为225; 等差数列中,项数为偶数时,;项数为奇数时,,
4、 ;. 典例:1)在等差数列中,S11＝22,则＝2; )项数为奇数的等差数列中,,求此数列的中间项与项数. 若等差数列,的前和分别为,则. 典例:若{},{}是等差数列,它们前项和分别为,,若,则. 等差数列的前项和的最值求法: 法一:由解析式结合二次函数图象求解; 法二:具体操作如下 ①当时,可求的最大值;,若时,显然;若时,设前项和最大,则应满足;特别地,当时,则; ②当时,可求的最小值;,若时,显然;若时,设前项和最小,则应满足;特别地,当时,则; 典例:1)等差数列中,,,则数列前13项和最大,最大值为169. )若是等差数列,首项,,则使前n项和成
5、立的最大正整数n是4006; 等比数列的有关概念: 等比数列的判断方法: ①定义法,其中; ②等比中项法或. 注:是数列等比的必要不充分条件. 典例:1)一个等比数列{}共有项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则为; )数列中,且=1,若,求证:数列是等比数列. 等比数列的通项:或. 典例:数列等比,,,,求和公比. 等比数列的前和:当时,;当时,. 典例:1)等比数列中,,,求; )已知等比,其成等差数列,则公比. 特别提醒:等比数列前项和公式有两种形式,为此在求等比数列前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比
6、是否为1时,要对分和两种情形讨论求解. 等比中项:若成等比数列,那么A叫做与的等比中项. 提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个. 典例:两个正数的等差中项为,等比中项为,则A与B的大小关系为. 提醒:等比数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2; 为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,…;但偶数个数成等比时,不能设为…,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为. 典例:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三
7、个成等比数列,且个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数. 等比数列的性质: 当时,则有,特别地,当时,则有. 典例:1)在等比数列中,,公比q是整数,则=512; )等比数列中,若,则10. 若是等比数列,则、、成等比数列;若成等比数列,则、成等比数列; 若是等比数列,且公比,则数列,…也是等比数列. 注:当,且为偶数时,数列,…是常数数列0,它不是等比数列. 典例:1)已知且,设数列满足,且 ,则; )在等
