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时间:2019-01-24
《北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文一、选择题(共8小题;共40分)1.复数21−i化简的结果为______A.1+iB.−1+iC.1−iD.−1−i2.向量a=1,1,b=2,t,若a⊥b,则实数t的值为______A.−2B.−1C.1D.23.在等边△ABC的边BC上任取一点P,则S△ABP≤23S△ABC的概率是______A.13B.12C.23D.564.点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为______A.2B.3C.4D.55.某程
2、序的框图如图所示,执行该程序,若输入的P为24,则输出的n,S的值分别为______A.n=4,S=30B.n=5,S=30C.n=4,S=45D.n=5,S=456.已知点A−1,0,Bcosα,sinα,且AB=3,则直线AB的方程为______A.y=3x+3或y=−3x−3B.y=33x+33或y=−33x−33C.y=x+1或y=−x−1D.y=2x+2或y=−2x−27.已知函数fx=sinx,sinx≥cosx,cosx,sinx3、是奇函数B.fx的值域是−1,1C.fx是偶函数D.fx的值域是−22,18.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是______第6页(共6页)A.1,52B.324,52C.52,2D.2,3二、填空题(共6小题;共30分)9.tan225∘的值为______.10.双曲线x23−y23=1的渐近线方程为______;离心率为______.11.数列an是公差不为04、的等差数列,且a2+a6=a8,则S5a5=______.12.不等式组x≥0,x+y≤3,y≥x+1表示的平面区域为Ω,直线y=kx−1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围是______.13.三棱锥D−ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱BD的长为______.14.任给实数a,b,定义a⊕b=a×b,a×b≥0,ab,a×b<0.设函数fx=lnx⊕x,则f2+f12=______;若an是公比大于0的等比数列,且a5=1,fa1+fa2+fa3⋯+fa7+fa8=a1,则a15、=______.三、解答题(共6小题;共78分)15.已知函数fx=3sinxcosx−cos2x+12,△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且fA=1.(1)求角A的大小;(2)若a=7,b=5,求c的值.16.某汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各50辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表:A型车出租天数34567车辆数3301575B型车第6页(共6页)出租天数34567车辆数101015105(1)试根据上面的统计数据,判6、断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只需写出结果);(2)现从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽车是A型车的概率;(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.17.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠BAC=90∘,AB=AC=AA1,且E是BC中点.(1)求证:A1B∥平面AEC1;(2)求证:B1C⊥平面AEC1.18.已知函数fx=12x2−7、12与函数gx=alnx在点1,0处有公共的切线,设Fx=fx−mgxm≠0.(1)求a的值;(2)求Fx在区间1,e上的最小值.19.已知椭圆M:x2a2+y23=1(a>0)的一个焦点为F−1,0,左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线l的倾斜角为45∘时,求线段CD的长;(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求S1−S2的最大值.20.已知函数fx的定义域为0,+∞,若y=fxx在0,+∞上为增函数,则称fx为“一阶比增函数8、”.(1)若fx=ax2+ax是“一阶比增函数”,求实数a的取值范围;(2)若fx是“一阶比增函数”,求证:∀x1,x2∈0,+∞,fx1+fx22013有解.第6页(共6页)答案第一部分1.A2.A3.C4.B5.B6.B7.D8.B第二部分9.110.y=±x;211.312.3,+∞13.4214.0;e第三部分15.(1)fx=3sinxcosx−cos2x+12=32sin2x−12cos2x=sin2x−π6,
3、是奇函数B.fx的值域是−1,1C.fx是偶函数D.fx的值域是−22,18.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是______第6页(共6页)A.1,52B.324,52C.52,2D.2,3二、填空题(共6小题;共30分)9.tan225∘的值为______.10.双曲线x23−y23=1的渐近线方程为______;离心率为______.11.数列an是公差不为0
4、的等差数列,且a2+a6=a8,则S5a5=______.12.不等式组x≥0,x+y≤3,y≥x+1表示的平面区域为Ω,直线y=kx−1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围是______.13.三棱锥D−ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱BD的长为______.14.任给实数a,b,定义a⊕b=a×b,a×b≥0,ab,a×b<0.设函数fx=lnx⊕x,则f2+f12=______;若an是公比大于0的等比数列,且a5=1,fa1+fa2+fa3⋯+fa7+fa8=a1,则a1
5、=______.三、解答题(共6小题;共78分)15.已知函数fx=3sinxcosx−cos2x+12,△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且fA=1.(1)求角A的大小;(2)若a=7,b=5,求c的值.16.某汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各50辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表:A型车出租天数34567车辆数3301575B型车第6页(共6页)出租天数34567车辆数101015105(1)试根据上面的统计数据,判
6、断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只需写出结果);(2)现从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽车是A型车的概率;(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.17.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠BAC=90∘,AB=AC=AA1,且E是BC中点.(1)求证:A1B∥平面AEC1;(2)求证:B1C⊥平面AEC1.18.已知函数fx=12x2−
7、12与函数gx=alnx在点1,0处有公共的切线,设Fx=fx−mgxm≠0.(1)求a的值;(2)求Fx在区间1,e上的最小值.19.已知椭圆M:x2a2+y23=1(a>0)的一个焦点为F−1,0,左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线l的倾斜角为45∘时,求线段CD的长;(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求S1−S2的最大值.20.已知函数fx的定义域为0,+∞,若y=fxx在0,+∞上为增函数,则称fx为“一阶比增函数
8、”.(1)若fx=ax2+ax是“一阶比增函数”,求实数a的取值范围;(2)若fx是“一阶比增函数”,求证:∀x1,x2∈0,+∞,fx1+fx22013有解.第6页(共6页)答案第一部分1.A2.A3.C4.B5.B6.B7.D8.B第二部分9.110.y=±x;211.312.3,+∞13.4214.0;e第三部分15.(1)fx=3sinxcosx−cos2x+12=32sin2x−12cos2x=sin2x−π6,
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