《圆锥曲线新题型及定点问题分析》（word版）

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1、高三冲刺讲义：《圆锥曲线新题型及定点问题分析》圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容合热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想的应用。定点问题与定值问题是这类题目的典型代表，下面我们就着重研究这些2类问题；在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取值不同时，曲线本身的性质不变，或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值定点问题。圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值定点问题，她涵

2、盖两类问题，一是懂曲线景观定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应有赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形。所以在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往往是我们学习的一个难点.对于这类问题的学习，通常有两种处理方法:①从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关.②直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点(定值).而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法，其中又

3、包括：1、通过定义代入化简；2、通过平面几何知识或三角知识代入；3、通过韦达定理化简；下面我们就来介绍这些题型：题型一：通过代入化简得定值例1：已知为椭圆上的一点，其中为椭圆的左右焦点；求证：。证明：同理得证：题型二：通过平面几何知识化简得到例2：已知椭圆的方程为，右焦点为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于不同两点.（1）若直线的倾斜角为，求直线的方程；xyFQABlO（2）求证：.提示：用代入法转化AF，AQ=；从而化简出是一个常值。解]（1）设直线的方程为，则有，得又切点在轴的右侧，所以，所以直线的

4、方程为（2）因为为直角三角形，所以[来K]又得又得所以，同理可得所以题型三：通过定义化简得到：例3：某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．（1）求抛物线方程；（2）求证：．（3）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？第(3)问提示：，；想想BF和DF如何参加他们也可以写出来。之后面积问题就转化为三角求最值问题了。解析:（1）由抛物线焦点得,抛物线方程为（2）设，则点所以，，既解得；（3）同理：，，“蝴蝶形图案”的面积令,则,时

5、,即“蝴蝶形图案”的面积为8题型四：通过韦达化简得到例4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，是上的动点．（1）求的最大值；（2）若平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，求证：直线与直线的倾斜角互补．[解]（1）设椭圆的方程为将代入椭圆的方程，得………2分解得，所以椭圆的方程为…………2分设点的坐标为，则．又是上的动点，所以，得，代入上式得，故时，．的最大值为．（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为．由得设、，则．又故．又，所以上式分子故．所以直线与直线的倾斜角互

6、补．题型五、通过类比结论得到例5：椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.若直线的斜率之和为0，求证：为定值.解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以，解得，．故椭圆的方程为．（方法2、待定系数法）（2）设，，由：，，两式相减，得到所以，即，同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以方法2、(可参照方法1给分)设直线：，代入椭圆，得到，化简得(以下略)题型六：其他综合问题例6：已知抛物线：，直线交此

7、抛物线于不同的两个点、．（1）当直线过点时，证明为定值；（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、．设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）．（3）存在直线，点，点到它们的距离相等．例7：在平面直角坐标系中，方向向量为的直线经过椭圆的右焦点，:与椭圆相交于、两点（1）若点在轴的上方，

8、且，求直线的方程；（2）若，且△的面积为，求的值；（3）当（）变化时，是否存在一点，使得直线和的斜率之和为,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）；（2）；（3）存在一点。例8：动圆过定点且与直线相切，其中.设圆心的轨迹的方程为.（1）求；（2）曲线上的一定点方向向量的直线（不过点）与曲线交于、两点，设直线、斜率分别为、，计算；（