高考圆锥曲线中和定点和定值问题(题型总结)

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1、专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐

2、标。解得。∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，资料要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.（1）求抛

3、物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）;（2）直线过定点【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设，则，则；同理：.由在直线上（1）；由在直线上将（1）代入（2）将（2）代入方程，即可得出直线过定点．资料（2）设，则，则即；同理：；.由在直线上，即（1）；由在直线上将（1）代入（2）将（2）代入方程，易得直线过定点3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物

4、线过点，是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线的斜率分别为，求的值.【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）【解析】试题分析;（1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可的值；资料因为的重心的纵坐标为，所以，所以，所以，所以，又.所以.4．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，，求证：为定

5、值．【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为,将代人得点坐标为，由，消元得，设，，则且，方法一：因为，所以.同理，且与异号，资料所以.所以，为定值.当时，同理可得.所以，为定值.资料同理，且与异号，所以　　　　　　　　　　.又当直线与轴重合时，，所以，为定值.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方

6、程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线：，为的焦点，过的直线与相交于两点.（1）设的斜率为1，求；（2）求证：是一个定值.【答案】(1)（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；资料（2）证明：设直线的方程

7、为，由得∴，，∵，，∴是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C:的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;  (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.【答案】(1),(2)O到直线的距离为定值.【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a

8、，b，c；（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；资料有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)=0代入,得4m2=3k2+3原点到直线AB的距离，当AB的斜率不存在时,,可得,依然成立.所以点O到直线的距离