2016年吉林省长春市高三理科上学期数学期中考试试卷

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1、2016年吉林省长春市高三理科上学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.复数z=cos2π3+isin2π3在复平面内对应的点在  A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A=xx+2x−3<0，则A∩N（N为自然数集）为  A.−∞,−2∪3,+∞B.2,3C.0,1,2D.1,23.△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量a，b满足AB=2a，AC=2a+b，则下列结论正确的是  A.∣b∣=2B.a⊥bC.a⋅b=12D.a+14b⊥BC4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题

2、：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约  A.164石B.178石C.189石D.196石5.命题：“∃x0>0，使2x0x0−a>1”，这个命题的否定是  A.∀x>0，使2xx−a>1B.∀x>0，使2xx−a≤1C.∀x≤0，使2xx−a≤1D.∀x≤0，使2xx−a>16.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M处的条件为  A.k≥32B.k<16C.k<32D.k≥167.已知递减等差数列an中，a3=−1，a1，a4，−a6成等比，若Sn为数列an的前

3、n项和，则S7的值为  A.−14B.−9C.−5D.−18.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的体积为  cm2．第11页（共11页）A.6+3πB.2+3πC.6+3π2D.2+3π29.已知原点到直线l的距离为1，圆x−22+y−52=4与直线l相切，则满足条件的直线l有多少条?  A.1条B.2条C.3条D.4条10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符

4、合的路程一时间图象  A.B.C.D.11.双曲线x2−y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点，且∣PF1∣=8，PF1⋅PF2=0，则双曲线的渐近线方程是  A.y=±22xB.y=±26xC.y=±5xD.y=±34x12.已知实数a，b满足lnb+1+a−3b=0，实数c，d满足2d−c+5=0，则a−c2+b−d2的最小值为  A.1B.2C.3D.4二、填空题（共4小题；共20分）13.在x2−12x6的展开式中，常数项等于 ．第11页（共11页）14.动点Px,y满足2x−y≥0,y≥0,x+y−3≥0,则z=x

5、+2y的最小值为 ．15.已知三棱锥S−ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱锥S−ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为 .16.如图，直角△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=90∘，作△ABC的内接正方形BEFB1，再作△B1FC的内接正方形B1E1F1B2，⋯，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列an，其前n项和为 ．三、解答题（共8小题；共104分）17.已知fx=cosxsinx−3cos2x+32．（1）求fx的单调增区间；（2）在△ABC中，A为锐角且fA=32，AB+

6、AC=3AD，AB=3，AD=2，求sin∠BAD．18.某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455 kg，已知当年产量低于350 kg时，单位售价为20元/kg，若当年产量不低于350 kg而低于550时，单位售价为15元/kg，当年产量不低于550 kg时，单位售价为10元/kg．（1）求图中a，b的值；（2）试估计年销售额的期望是多少?19.已知四棱锥P−ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC上一点，且B

7、P⊥平面ADM．第11页（共11页）（1）求PM的长度；（2）求MD与平面ABP所成角的余弦值．20.以边长为4的等边三角形ABC的顶点A以及BC边的中点D为左、右焦点的椭圆过B，C两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D且与x轴不垂直的直线l交椭圆于M，N两点，求证：直线BM与CN的交点在一条直线上．21.函数fx的导函数fʹx=2x+b，且f0=c,gx=xfx．（1）若c>0，gx为奇函数，且gx的最大值为12，求b,c的值；（2）若函数Fx=fx+2−c的定义域为−1,1，且Fx的最小值为2，当函数fx在区间−1,1上有零点，求

8、实数c的取值范围．22.如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD⋅AB．（2）若AE=4，CB