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1、2016年北京市海淀区高三理科上学期人教B版数学期末考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为 A.12B.1C.2D.32.在极坐标系中，点1,π4与点1,3π4的距离为 A.1B.2C.3D.53.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为 A.6B.7C.8D.94.已知向量a，b满足a+2b=0，a+b⋅a=2，则a⋅b= A.−12B.12C.−2D.25.已知直线l经过双曲线x24−y2=1的一
2、个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是 A.y=−12x+52B.y=12x−5C.y=2x−32D.y=−2x+36.设x，y满足x−y≤0,x+y−2≥0,x≤2,则x+12+y2的最小值为 A.1B.92C.5D.97.在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A.14B.16C.18D.20第9页（共9页）8.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1
3、的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是 A.0,1B.12,32C.1,2D.32,2二、填空题（共6小题；共30分）9.已知复数z满足1+iz=2，则z= ．10.x2+1x6的展开式中常数项是 ．（用数字作答）11.若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知圆C:x2−2x+y2=0，则圆心坐标为 ；若直线l过点−1,0且与圆C相切，则直线l的方程为 ．13.已知函数y=2
4、sinωx+φω>0,∣φ∣<π2．①若f0=1，则φ= ；②若∃x∈R，使fx+2−fx=4成立，则ω的最小值是 ．14.已知函数fx=e−∣x∣+cosπx，给出下列命题：①fx的最大值为2；②fx在−10,10内的零点之和为0；③fx的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，c=2a，B=120∘，且△ABC面积为32．（1）求b的值；第9页（共9页）（2）求tanA的值．16.诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便
5、于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别
6、在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17.如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90∘，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD绕边OD所在直线旋转到A1OD位置，使得∠A1OB=120∘，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A
7、1BD所成角的正弦值．18.已知A0,2，B3,1是椭圆G:x2a2+y2b2=1a>b>0上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程．19.已知函数fx=lnx−ax−1．（1）若曲线y=fx存在斜率为−1的切线，求实数a的取值范围；（2）求fx的单调区间；（3）设函数gx=x+alnx，求证：当−18、1,a2,⋯,akk=1,2,3,⋯，则称bn是an的“收缩数列”，其中maxa1,a2,⋯,ak，mina1,a2,⋯,ak分别表示a1，a2，⋯，ak中的最大数和最小数．已知an为无穷数列，其前n项和为Sn，数列bn是an的“收缩数列”．（1）若an=2n+1，求bn的前n项和；第9页（共9页）（2）证明：bn的“收缩数列”仍是bn；（3）若S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn−12bnn
