2015年山西太原高三理科一模数学试卷

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1、2015年山西太原高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知1+iz=2i，则复数z=  A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i2.已知函数fx的导函数fʹx=ax+1x−a，若fx在x=a处取到极大值，则a的取值范围是  A.−∞,−1B.−1,0C.0,1D.1,+∞3.在单调递减等比数列an中，若a3=1，a2+a4=52，则a1=  A.2B.4C.2D.224.已知函数fx=log2x，若在1,8上任取一个实数x0，则不等式1≤fx0≤2成立的概率是  A.14B.13C.27D.125.执行如下图所示程序框图，则输出a=  A.20B.14C.1

2、0D.76.已知函数fx=sinωx+φω>0,∣φ∣<π2的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数fx的图象  A.关于直线x=π12对称B.关于直线x=5π12对称C.关于点π12,0对称D.关于点5π12,0对称7.已知在圆x2+y2−4x+2y=0内过点E1,0的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为  A.35B.65C.415D.215第10页（共10页）8.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是  A.16B.32C.32D.489.已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数fx=ax+x−b的零点

3、所在的区间是  A.−2,−1B.−1,0C.0,1D.1,210.已知实数x，y满足条件x≥2,x+y≤4,−2x+y+c≥0,若目标函数z=3x+y的最小值为5，其最大值为  A.10B.12C.14D.1511.已知点O为双曲线C的对称中心，过点O的两条直线l1与l2的夹角为60∘，直线l1与双曲线C相交于点A1，B1，直线l2与双曲线C相交于点A2，B2，若使A1B1=A2B2成立的直线l1与l2有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是  A.233,2B.233,2C.233,+∞D.233,+∞12.已知数列an的通项公式为an=−1n2n−1⋅cosnπ2+1n∈N*

4、，其前n项和为Sn，则S60=  A.−30B.−60C.90D.120二、填空题（共4小题；共20分）13.已知向量a，b满足2a−b⋅a+b=6，且∣a∣=2，∣b∣=1，则a与b的夹角为______．14.已知2x−1xn展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是______．15.已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2．将已知在直角梯形沿AC折叠成三棱锥D−ABC，当三棱锥D−ABC体积取最大值时其外接球的体积为______．16.已知定义在R上的奇函数fx满足f32−x=fx，f−2=−3，数列an的前n项和为Sn，且a1=−1，

5、Sn=2an+nn∈N*，则fa5+fa6=______．三、解答题（共8小题；共104分）17.已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=π3．（1）若△ABC的面积等于3，求a，b；第10页（共10页）（2）若sinC+sinB−A=2sin2A，求A的值．18.某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为490,495，495,500，500,505，505,510，510,515）．（1）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产

6、品数量，求随机变量X的分布列；（2）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．19.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC的所成角为60∘，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，点G为△ABC的重心，点E在BC1上，且BE=13BC1．（1）求证：GE∥平面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值；20.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点F1，F2，其离心率为e=12，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为

7、4π3．（1）求a，b的值．（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，且满足F1A∥F1C，F1B∥F1D，AC⋅BD=0，求∣AC∣+∣BD∣的取值范围．21.已知函数fx=x2+ax+lnx，a∈R．（1）当a=−1时，求fx的单调区间；第10页（共10页）（2）若fx>12e+1a，求a的取值范围．22.如图，已知点C是以AB为直径的半圆O上一点，过C的直线交AB的延长线于E，交过点A的圆O的切线于点D，BC∥OD，AD=AB=2．（1）求证：直