2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（理科）

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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（理科）一、选择题（共10小题；共50分）1.已知集合A=xx2−4x+3<0，B=x2

2、D⋅CD=  A.−32a2B.−34a2C.34a2D.32a25.不等式∣x−1∣−∣x−5∣<2的解集是  A.−∞,4B.−∞,1C.1,4D.1,56.已知x，y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4，则a=  A.3B.2C.−2D.−37.在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为  A.2π3B.4π3C.5π3D.2π8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从

3、正态分布N0,32，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为  （附：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ<μ+σ=68.26%，Pμ−2σ<ξ<μ+2σ=95.44%）A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%9.一条光线从点−2,−3射出，经y轴反射后与圆x+32+y−22=1相切，则反射光线所在直线的斜率为  A.−53或−35B.−32或−23C.−54或−45D.−43或−3410.已知函数fx对任意x∈R都有fx+4−fx=2f2，若y=fx−1的图象关于

4、直线x=1对称，且f1=2，则f2013=  A.2B.3C.4D.6二、填空题（共5小题；共25分）11.观察下列各式：C10=40；第10页（共10页）C30+C31=41；C50+C51+C52=42；C70+C71+C72+C73=43；⋯照此规律，当n∈N*时，C2n−10+C2n−11+C2n−12+⋯+C2n−1n−1= ．12.若“∀x∈0,π4,tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 ．13.执行如图所示的程序框图，输出的T的值为 ．14.已知函数fx=ax+ba>0,a≠1的定义域、值域

5、都是−1,0，则a+b= ．15.平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线与抛物线C2:x2=2pyp>0交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ．三、解答题（共6小题；共78分）16.设fx=sinxcosx−cos2x+π4．（1）求fx的单调区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若fA2=0，a=1，求△ABC面积的最大值．17.如图，在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求

6、证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45∘，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．18.设数列an的前n项和为Sn．已知2Sn=3n+3．（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn．第10页（共10页）19.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只

7、能抽取一次．得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得−1分；若能被10整除，得1分．（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2．以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆E:x24a2+y24b2=

8、1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．①求OQOP的值；②求△ABQ面积的最大值．21.设函数fx=lnx+1+ax2−x，其中a∈R．（1）讨论函数fx极值点的个数，并说明理由；（2）若∀x>0，fx≥0成立，求a的取值范围．第10页（共10页）答案第一部分1.C【解析】由x2−4x+3<0，得x−1x−3<0，解得1