2015年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷

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1、2015年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.复数3+2i1−i=  A.12+52iB.12−52iC.−12+52iD.−12−52i2.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在8,10内的频数为  A.38B.57C.76D.953.设函数fx=sin2x+π3，则下列结论正确的是  ①fx的图象关于直线x=π3对称；②fx的图象关于点π4,0对称；③fx的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象；④fx的最小正周期为π，且在0,π6上为增函数．A.③B.①③

2、C.②④D.①③④4.产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x−0.1x2，x∈0,240．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是  A.100台B.120台C.150台D.180台5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为  第14页（共14页）A.2+2+6B.3+2+6C.2+2+3D.3+2+36.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于  A.10B.11C.12D.137.若3x2−12x3n

3、的展开式中含有常数项，则正整数n取得最小值时常数项为  A.−1352B.−135C.1352D.1358.设a=∫01cosxdx，b=∫01sinxdx，下列关系式成立的是  A.a>bB.a+b<1C.alog13x；p3:∀ x∈0,+∞，12x<13x；p4:∀ x∈0,13，12x

4、2在区间1,2内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式fp+1−fq+1p−q<1恒成立，则实数a的取值范围为  A.a≤15B.06D.a<−3二、填空题（共6小题；共30分）11.如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，若PA=PB，PC=2，PD=8，OP=4，则该圆的半径长为 ．12.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosa,y=sina（a为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=4．设P为曲线C1上的动点，则点P到C2上点的距离的最小值为 ．13.若

5、关于x的不等式x+1+x−3≥m的解集为R，则m的取值范围为 ．14.设变量x，y满足5x+2y−18≤0,2x−y≥0,x+y−3≥0,若直线kx−y+2=0经过该可行域，则k的最大值为 ．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线与抛物线y2=2pxp>0的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p= ．16.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA=33，若AB⋅AE+AC⋅AF=2，则EF与BC的夹角的余弦值等于 ．三、解答题（共6小题；共78

6、分）17.为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，雅礼中学高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．第14页（共14页）分数分数段频数人数频率60,709x70,80y0.3880,90160.3290,100zs合计p1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一1401班恰有甲、乙两名同学取得

7、决赛资格．记高一1401班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．（我们认为决赛中各选手的水平相当，获得各名次的机会均等）18.已知函数fx=m⋅n，且m=sinωx+cosωx,3cosωx，n=cosωx−sinωx,2sinωx，其中ω>0，若函数fx相邻两对称轴的距离大于等于π2．（1）求ω的取值范围；（2）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当ω最大时，fA=1，且a=3，求c+b的取值范围．19.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60∘，AB=PC=2，AP=BP=2．（1）

8、求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角A−PC−D的平面角的余弦值．20.设数列an的前n项和为Sn，点an,Sn在直线y=32x−1上．（1