2014年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷

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1、2014年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.已知全集U=R，集合A=xx+1<0，B=xx−3≤0，那么集合∁UA∩B等于  A.x−1≤x≤3B.x−132.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=π3对称的是  A.y=sin2x+π6B.y=sinx2+π3C.y=sin2x−π3D.y=sin2x−π63.抛物线y=−4x2的准线方程是  A.x=116B.x=1C.y=1D.y=1164.已知复数z=a2−1+a

2、−2ia∈R，则“a=1”是“z为纯虚数”的  A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5.已知向量a=1,1，b=2,n，若∣a+b∣=a⋅b，则n=  A.−3B.−1C.1D.36.阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为  A.1321B.2113C.813D.1387.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2:4:3:1，则第2组的频率和频数分别为  A.0.4，12B.0.6，16C.0.4，16D.0.6，128.如图

3、所示，曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图（阴影部分），其面积是  A.1B.12C.13D.229.某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左、右均有空位，那么不同的坐法种数为  A.12B.16C.24D.3210.一只蚂蚁从长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A出发，沿着长方体的表面到达顶点C1的最短距离为6，则长方体体积的最大值为  A.24B.63C.123D.96二、填空题（共6小题；共30分）11.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的

4、半径为3，PA=2，则OE= ．12.已知两曲线参数方程分别为x=5cosθ,y=sinθ0≤θ<π和x=54t2,y=tt∈R，它们的交点坐标为 ．13.已知集合A=x∈Rx+3+x−4≤9，B=x∈Rx=4t+1t−6,t∈0,+∞，则集合A∩B= ．14.已知平面区域Ω=x,yy≤x+1,y≥0,x≤1，M=x,yy≤−x+1,y≥0，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为 ．15.设minp,q表示p，q两者中的较小的一个，若函数fx=min3−12log2x,log2x，则满足fx<

5、1的x的集合为 ．16.设直线l:y=gx，曲线S:y=Fx．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有gx≥Fx．则称直线l为曲线S的“上夹线”．（1）曲线y=sinx的“上夹线”方程为 ；（2）曲线S:y=mx−nsinxn>0的“上夹线”的方程为 ．三、解答题（共6小题；共78分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a2+b2−c2=3ab；（1）求sin2A+B2；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．18.某地去

6、年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10人．（1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；（2）该地区9月份（共30天）该病毒新感染者共有多少人?19.如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=12CD，∠BAD=∠ADC=90∘；（1）在线段PC上找一点M，使BM⊥面P

7、CD．（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．20.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13,12．两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、

8、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C，D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：OM⋅OP为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数fx=ln1+xx．（1）当x>0时，证明：fx>2x+2；（2