2015年北京市东城区高三文科数学一模试卷

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1、2015东城一模数学文一、选择题（共8小题；共40分）1.在复平面内，复数z=1−2i对应的点的坐标为 ()A.1,2B.2,1C.1,−2D.2,−12.双曲线x24−y2=1的渐近线方程为 ()A.y=±12xB.y=±3xC.y=±2xD.y=±5x3.记函数fx的导函数为fʹx，若fx对应的曲线在点x0,fx0处的切线方程为y=−x+1，则 ()A.fʹx0=2B.fʹx0=1C.fʹx0=0D.fʹx0=−14.已知命题p：直线a，b不相交，命题q：直线a，b为异面直线，则p是q的 ()A.充分

2、而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在区间0,2上随机取一个实数x，则事件“3x−1<0”发生的概率为 ()A.12B.13C.14D.166.执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填 ()A.2B.3C.4D.57.设集合D=x,yx+y≥1,x−y≤1则下列命题中正确的是 ()A.∀x,y∈D，x−2y≤0B.∀x,y∈D，x+2y≥−2C.∀x,y∈D，x≥2D.∃x,y∈D，y≤−18.某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有

3、A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a1=300，则an+1与an的关系可以表示为 ()A.an+1=12an+150B.an+1=13an+200C.an+1=15an+300D.an+1=25an+180第9页（共9页）二、填空题（共6小题；共30分）9.已知集合A=1，B=−1,2m−1，若A⫋B，则实数m的值为 ．10.将

4、函数fx=sin2x+π3的图象向右平移π6个单位后所得图象对应的解析式为 ．11.在矩形ABCD中，AB=1,−3，AC=k,−2，则实数k= ．12.已知函数fx的对应关系如下表所示，数列an满足a1=3，an+1=fan，则a4= ，a2015= ．x123fx32113.函数fx是定义在R上的偶函数，且满足fx+2=fx．当x∈0,1时，fx=2x．若在区间−2,3上方程ax+2a−fx=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．14.C是曲线y=1−x2−1≤x≤0上一点，CD垂直于y轴

5、，D是垂足，点A的坐标是−1,0．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数fθ，则fθ= ，fθ的最大值为 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．（1）求x，y的值；（2）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．16.在△ABC中，sinA+3cosA=2．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；

6、②B=45∘；③c=3b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．17.如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=π3．沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）．F为BC的中点，E为AO的中点．第9页（共9页）（1）求证：CB⊥DE；（2）求三棱锥C−BOD的体积；（3）在劣弧BD上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD?若存在，试确定点G

7、的位置；若不存在，请说明理由．18.已知x=1是函数fx=2x+bx+lnx的一个极值点．（1）求实数b的值；（2）求fx的单调递减区间；（3）设函数gx=fx−3x，试问过点2,5可作多少条直线与曲线y=gx相切?请说明理由．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（1）求椭圆C的方程；（2）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l:x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．20.已知等差数

8、列an中，a1=5，7a2=4a4，数列bn前n项和为Sn，且Sn=2bn−1（n∈N*）．（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设数列cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,求cn的前n项和Tn；（3）把数列an和bn的公共项从小到大排成新数列dn，试写出d1，d2，并证明dn为等比数列．第9页（共9页）答案第一部分1.C2.A3.D4.B5.D6.A7.B【解析】集合D表示的平面区域如图中阴影部分各个选项依次验证知B正确．