2015年北京市东城区高三理科数学一模试卷

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1、2015东城一模数学理一、选择题（共8小题；共40分）1.已知全集U=R，集合A=x−2≤x≤3，B=xx<−1或x>4，那么集合A∩∁UB等于 ()A.x∣−1

2、“log12x>0”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有 ()A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种7.一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为 ()A.16B.26C.36D.128.已知函数fx=2mx2−24−mx+1，gx=mx，若对于任一实数x，fx与gx至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 ()A.0

3、,2B.0,8C.2,8D.−∞,0第8页（共8页）二、填空题（共6小题；共30分）9.设等差数列an的前n项和为Sn，若S2=8，S4=12，则an的公差d= ．10.曲线y=sinx0≤x≤π与x轴围成的封闭区域的面积为 ．11.如图，在△ABC中，∠A=60∘，AB=2AC=8，过C作△ABC外接圆的切线CD，BD⊥CD于D，BD与外接圆交于点E，则DE= .12.已知F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若F1F2=2PF2，则该椭圆的离心率为 ．13.已知函数fx是R上的减函数，且y=fx−2的图象关于点2,0成中心对称

4、．若u，v满足不等式组fu+fv−1≤0,fu−v−1≥0,则u2+v2的最小值为 ．14.已知x∈R，定义：Ax表示不小于x的最小整数．如A3=2，A−1.2=−1．若A2x+1=3，则x的取值范围是 ；若x>0且A2x⋅Ax=5，则x的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，b=2，cosC=34，△ABC的面积为74．（1）求a的值；（2）求sin2A值．16.某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：75,80，80,85，85,90，90,95，95,100．规定90分及其以上为合格．（1）求图中a的值（2）

5、根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；第8页（共8页）（3）若三个人参加交通法规考试，用X表示这三人中考试合格的人数，求X的分布列与数学期望．17.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（1）求证：MN∥BC；（2）求直线AC与平面PBC所成的角；（3）若直线EM与直线AP所成角的余弦值为31414时，求MC的长．18.已知函数fx=x+ax+lnx，a∈R．（1）若fx在x=1处取得极值，求a的值；（2）若fx在区间1,2上单

6、调递增，求a的取值范围；（3）讨论函数gx=fʹx−x的零点个数．19.在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点1,0的距离与它到直线x=−1的距离相等．（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设动直线l:y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=−1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．20.在无穷数列an中，a1=1，对于任意n∈N*，都有an∈N*，且an

7、是1，1，2，3，⋯．（1）设数列an是1，4，5，⋯，请写出an的伴随数列bn的前5项；（2）设an=3n−1n∈N*，求数列an的伴随数列bn的前20项和；（3）设an=3n−2n∈N*，求数列an的伴随数列bn前n项和Sn．第8页（共8页）答案第一部分1.D【解析】A∩∁UB=−2,3∩−1,4=−1,3．2.D3.A【解析】由3x−m<0得x0，事件x