2014年海淀区高三年级第二学期期中练习数学

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1、2014年北京海淀高考一模数学(理)一、选择题(共8小题;共40分)1.已知集合A=1,2,12,集合B=yy=x2,x∈A,则A∩B= ()A.12B.2C.1D.∅2.复数z=1+i1−i在复平面内对应的点的坐标为 ()A.1,0B.0,2C.0,1D.2,03.下列函数fx图象中,满足f14>f3>f2的只可能是 ()A.B.C.D.4.已知直线l的参数方程为x=1+t,y=−1+t(t为参数),则直线l的普通方程为 ()A.x−y−2=0B.x−y+2=0C.x+y=0D.x+y−2=05.在数列an中,“an=2an−1,n=2,3,4,⋯”是“an是公比为2的等比数列”

2、的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 ()A.4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为 ()A.1B.2C.3D.48.已知A1,0,点B在曲线C:y=lnx+1上,若线段AB与曲线M:y=1

3、x相交且交点恰为线段AB的中点,则称B为曲线C关于曲线M的一个关联点.记曲线C关于曲线M的关联点的个数为a,则 ()A.a=0B.a=1C.a=2D.a>2二、填空题(共6小题;共30分)9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 .10.函数y=x−x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于 .11.如图,AB切圆O于B,AB=3,AC=1,则AO的长为 .12.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y2=4x的准线相切,则m= .13.如图,已知△ABC中,∠BAD=30∘,∠CAD=45∘,AB=3,AC=2,则BDDC= .14.已知向量序列:a1,a2,a3,

4、⋯,an,⋯满足如下条件:a1=4d=2,2a1⋅d=−1且an−an−1=d(n=2,3,4,⋯).若a1⋅ak=0,则k= ;a1,a2,a3,⋯,an,⋯中第 项最小.三、解答题(共6小题;共78分)15.已知函数fx=2sinπ6xcosπ6x,过两点At,ft,Bt+1,ft+1的直线的斜率记为gt.(1)求g0的值;(2)写出函数gt的解析式,求gt在−32,32上的取值范围.16.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如下:每

5、名快递员完成一件货物投递可获得劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.(1)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递快递件数的平均数和众数;(2)为了解乙公司员工B的每天获得的劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他获得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;(3)根据表中数据估算两公司的每位员工该月获得的劳务费.17.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30∘,∠ABC=90∘,D为AC的中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面△ABD⊥ 平面 BCD,如图

6、2所示.(1)求证:AE⊥ 平面 BCD;(2)求二面角A−DC−B的余弦值;(3)在线段AF上是否存在点M使得EM∥ 平面 ADC?若存在,求出AMAF的值;若不存在,请说明理由.18.已知曲线C:y=eax.(1)若曲线C在点0,1处的切线为y=2x+m,求实数a和m的值;(2)对任意实数a,曲线C总在直线l:y=ax+b的上方,求实数b的取值范围.19.已知A,B是椭圆C:2x2+3y2=9上两点,点M的坐标为1,0.(1)当A,B两点关于x轴对称,且△MAB为等边三角形时,求AB的长;(2)当A,B两点不关于x轴对称时,证明:△MAB不可能为等边三角形.20.在平面直角坐标

7、系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)An:A1,A2,A3,⋯,An与Bn:B1,B2,B3,⋯,Bn,其中n≥3,若同时满足:(i)点列的起点和终点分别相同;(ii)线段AiAi+1⊥BiBi+1,其中i=1,2,3,⋯,n−1,则称An与Bn互为正交点列.(1)求A3:A10,2,A23,0,A35,2的正交点列B3;(2)判断A4:A10,0,A23,1,A36,0,A49,1是否存在正交点列B4?并说明理由;(3)∀n≥5,

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1、2014年北京海淀高考一模数学(理)一、选择题(共8小题;共40分)1.已知集合A=1,2,12,集合B=yy=x2,x∈A,则A∩B= ()A.12B.2C.1D.∅2.复数z=1+i1−i在复平面内对应的点的坐标为 ()A.1,0B.0,2C.0,1D.2,03.下列函数fx图象中,满足f14>f3>f2的只可能是 ()A.B.C.D.4.已知直线l的参数方程为x=1+t,y=−1+t(t为参数),则直线l的普通方程为 ()A.x−y−2=0B.x−y+2=0C.x+y=0D.x+y−2=05.在数列an中,“an=2an−1,n=2,3,4,⋯”是“an是公比为2的等比数列”

2、的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 ()A.4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为 ()A.1B.2C.3D.48.已知A1,0,点B在曲线C:y=lnx+1上,若线段AB与曲线M:y=1

3、x相交且交点恰为线段AB的中点,则称B为曲线C关于曲线M的一个关联点.记曲线C关于曲线M的关联点的个数为a,则 ()A.a=0B.a=1C.a=2D.a>2二、填空题(共6小题;共30分)9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 .10.函数y=x−x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于 .11.如图,AB切圆O于B,AB=3,AC=1,则AO的长为 .12.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y2=4x的准线相切,则m= .13.如图,已知△ABC中,∠BAD=30∘,∠CAD=45∘,AB=3,AC=2,则BDDC= .14.已知向量序列:a1,a2,a3,

4、⋯,an,⋯满足如下条件:a1=4d=2,2a1⋅d=−1且an−an−1=d(n=2,3,4,⋯).若a1⋅ak=0,则k= ;a1,a2,a3,⋯,an,⋯中第 项最小.三、解答题(共6小题;共78分)15.已知函数fx=2sinπ6xcosπ6x,过两点At,ft,Bt+1,ft+1的直线的斜率记为gt.(1)求g0的值;(2)写出函数gt的解析式,求gt在−32,32上的取值范围.16.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如下:每

5、名快递员完成一件货物投递可获得劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.(1)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递快递件数的平均数和众数;(2)为了解乙公司员工B的每天获得的劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他获得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;(3)根据表中数据估算两公司的每位员工该月获得的劳务费.17.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30∘,∠ABC=90∘,D为AC的中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面△ABD⊥ 平面 BCD,如图

6、2所示.(1)求证:AE⊥ 平面 BCD;(2)求二面角A−DC−B的余弦值;(3)在线段AF上是否存在点M使得EM∥ 平面 ADC?若存在,求出AMAF的值;若不存在,请说明理由.18.已知曲线C:y=eax.(1)若曲线C在点0,1处的切线为y=2x+m,求实数a和m的值;(2)对任意实数a,曲线C总在直线l:y=ax+b的上方,求实数b的取值范围.19.已知A,B是椭圆C:2x2+3y2=9上两点,点M的坐标为1,0.(1)当A,B两点关于x轴对称,且△MAB为等边三角形时,求AB的长;(2)当A,B两点不关于x轴对称时,证明:△MAB不可能为等边三角形.20.在平面直角坐标

7、系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)An:A1,A2,A3,⋯,An与Bn:B1,B2,B3,⋯,Bn,其中n≥3,若同时满足:(i)点列的起点和终点分别相同;(ii)线段AiAi+1⊥BiBi+1,其中i=1,2,3,⋯,n−1,则称An与Bn互为正交点列.(1)求A3:A10,2,A23,0,A35,2的正交点列B3;(2)判断A4:A10,0,A23,1,A36,0,A49,1是否存在正交点列B4?并说明理由;(3)∀n≥5,

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