2014-2015学年江西省南昌市第十九中学高二下学期期中考试数学（理）试题

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1、2014-2015学年江西省南昌市第十九中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题（共10小题；共50分）1.已知一个平面α，l为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b使得 ()A.l∥bB.l与b相交C.l与b是异面直线D.l⊥b2.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为 ()A.10B.20C.8D.43.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ()A.B.C.D.4.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B

2、，C，且有OP=xOA+yOB+zOCx,y,z∈R，则x=2，y=−3，z=2是P，A，B，C四点共面的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.E，F分别是边长为1的正方形ABCD边BC，CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为 ()A.13B.16C.112D.1246.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 ()第10页（共10页）A.B.C.D.7.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面

3、与底面所成二面角的余弦值是 ()A.63B.33C.23D.138.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为 ()A.63aB.66aC.22aD.12a9.在直角坐标系中，A−2,3，B3,−2，沿x轴把直角坐标系折成120∘的二面角，则AB的长度为 ()A.2B.42C.32D.21110.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()A.23B.1C.43D.32二、填空题（共4小题；共20分）11.正四面体S−ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是 ．12.过三棱柱A

4、BC−A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条．13.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= ．14.M是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；第10页（共10页）②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有

5、且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是 ．三、解答题（共5小题；共65分）15.如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．（1）求证：PA∥平面EFG；（2）求三棱锥P−EFG的体积．16.如图所示，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60∘．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM∥平面BEF，求BM的长，并证明你的结论．17.四

6、棱锥A−BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．（1）若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF⊥CM，请说明理由；（2）若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45∘．求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．18.如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB=π3，点D是线段BC的中点．第10页（共10页）（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）当三棱柱ABC−A1B1C1的体积最大时，求直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值．19.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1

7、中，∠ACB=90∘，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M−DE−A为30∘．（1）证明：A1B1⊥C1D；（2）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．第10页（共10页）答案第一部分1.D2.B3.A【解析】按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A符合题意．4.A【解析】对于空间任意以定点O，使得点P，A，B，C共面时有OP=1−x−yOM+xOA+yOB，所以x=2，y=−3，z=2是P，A，B，C四点共面充分不必要条件．5.D【解析】设AF，AE，EF折起交于点P，因为AP⊥P

8、F，AP⊥PE，所以AP⊥面PEF，所以VP−AEF=VA−PEF=13×1×12×12×12=124．6.C7.B【解析】设一个侧面面积为S，在底面