2014-2015学年北京市西城区高二下学期期末考试数学（理科）

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1、2014-2015学年北京市西城区高二下学期期末考试数学（理科）一、选择题（共10小题；共50分）1.i是虚数单位，若复数z满足iz=3+4i，则z等于  A.4+3iB.4−3iC.−3+4iD.−3−4i2.在1+xn的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于  A.4B.5C.6D.73.若An2=4Cn−12，则n的值为  A.7B.6C.5D.44.已知fx=1x，则fʹ1=  A.0B.1C.−1D.−25.计算定积分∫1e1+1xdx=  A.e−1B.eC.e+1D.1+1e6.在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其

2、中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是  A.0.35B.0.65C.0.85D.577.从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有  A.30个B.27个C.36个D.60个8.函数fx=x+2cosx在0,π上的极小值点为  A.0B.π6C.5π6D.π9.甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是  A.30B.24C.12D.610.已知函数fx=xex，给出下列结论：①1,+∞是f

3、x的单调递减区间；②当k∈−∞,1e时，直线y=k与y=fx的图象有两个不同交点；③函数y=fx的图象与y=x2+1的图象没有公共点．其中正确结论的序号是  A.①②③B.①③C.①②D.②③二、解答题（共6小题；共78分）11.已知数列an中，a1=3，an+1=an2−4an+5+2n∈N*．（1）计算a2，a3，a4的值；（2）根据计算结果猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明．第7页（共7页）12.在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率

4、为13，在B，C处击中目标的概率均为34．该同学依次在A，B，C处各射击一次，各射击之间没有影响，求在一次游戏中：（1）该同学得4分的概率；（2）该同学得分少于5分的概率．13.已知函数fx=−x3+ax2−4．（1）若a=2，求fx在−1,1上的最小值；（2）若fx在区间0,+∞上的最大值大于零，求a的取值范围．14.盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的．（1）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（2）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个

5、数，求X的分布列和期望．15.已知函数fx=ex+2ax．（1）当a=1时，求曲线y=fx在0,1处的切线方程；（2）若函数fx在区间1,+∞上最小值为0，求a的值；（3）若对于任意x≥0，fx≥e−x恒成立，求a的取值范围．16.已知函数fx=lnx−12x2，gx=1−m2x2+x，m∈R，令Fx=fx+gx．（1）求函数fx的单调递增区间；（2）若关于x的不等式Fx≤mx−1恒成立，求整数m的最小值；（3）若m=−1，且正实数x1，x2满足Fx1=−Fx2，求证：x1+x2≥3−1．三、填空题（共6小题；共30分）17.函数fx=x3的

6、图象在点1,f1处切线的斜率是______．18.设1+2x5=a0+a1x+⋯+a4x4+a5x5，则a0=______；a0−a1+a2−a3+a4−a4=______．19.在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是______．（用数字作答）20.设函数fx=ax3+x有极值，则实数a的取值范围是______．21.某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次．抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒

7、中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为______；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是______元．22.设函数y=fx图象上在不同两点Ax1,y1，Bx2,y2处的切线斜率分别为kA，kB，规定φA,B=kA−kB∣AB∣（AB为A与B之间的距离）叫作曲线y=fx在点A与B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φA,B=______；第7页（共7页）设Ax1,y1，Bx2,y2为曲线y=ex上两点，且x1−x2=1，若m⋅φA,B<1恒成立，则实数m的取值范围是______．第7页（共

8、7页）答案第一部分1.B2.C3.D4.C5.B6.C7.A8.C9.B10.B第二部分11.（1）由a1=3，an+1=an2−4an+5+2可得a2=2+2，a