2012东城高三期末文科

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2012东城高三期末文科一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=xx≥0，B=0,1,2，则______A.A⊆BB.B⊆AC.A∪B=BD.A∩B=∅2.复数1+1i在复平面上对应的点的坐标是______A.1,1B.−1,1C.−1,−1D.1,−13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______A.a32B.a36C.a312D.a3184.下列命题中正确的是______A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D.如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面5.设x>0，且10,则f56的值为______．12.在等差数列an中，若a5+a7=4，a6+a8=−2，则数列an的公差等于______；其前n项和Sn的最大值为______．13.对于函数fx=lgx−2+1，有如下三个命题：①fx+2是偶函数；②fx在区间−∞ , 2上是减函数，在区间2,+∞上是增函数；③fx+2−fx在区间2,+∞上是增函数．其中正确命题的序号是______．（将你认为正确的命题序号都填上）14.在平面内，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2的距离分别为3和2，点B是l2上的一个动点，若AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC面积的最小值为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinB−cosB=1．（1）若A=5π12，b=1，求c；（2）若a=2c，求A．16.在等差数列an中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=S2b2．（1）求an与bn；（2）设数列cn满足cn=1Sn，求cn的前n项和Tn．第6页（共6页） 17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．（1）求证：BD⊥EF；（2）试确定点F在线段AC上的位置，使EF∥平面PBD，并说明理由．18.已知函数fx=13x3+mx2−3m2x+1（m>0）．（1）若m=1，求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程；（2）若函数fx在区间2m−1,m+1上单调递增，求实数m的取值范围．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点M0,2是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点−12,−2．20.已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意fx∈M，①方程fx−x=0有实数根；②函数fx的导数fʹx满足00，fʹx，fx的变化情况如下表：x−∞,−3m−3m−3m,mmm,+∞fʹx+0−0+fx单调增极大值单调减极小值单调增所以函数fx的单调递增区间是−∞,−3m和m,+∞．要使fx在区间2m−1,m+1上单调递增，应有m+1≤−3m或2m−1≥m，解得m≤−14 或 m≥1.又m>0且m+1>2m−1，所以1≤m<2．即实数m的取值范围是m1≤m<2．19.（1）由已知可得b=2，a2=2b2=8，所求椭圆方程为x28+y24=1．      （2）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设Ax1,y1，Bx2,y2，由x28+y24=1,y=kx+m,得1+2k2x2+4kmx+2m2−8=0.则x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−81+2k2.由已知y1−2x1+y2−2x2=8，所以kx1+m−2x1+kx2+m−2x2=8,即2k+m−2x1+x2x1x2=8.所以k−mkm+2=4，整理得m=12k−2.故直线AB的方程为y=kx+12k−2，即y=kx+12−2.所以直线AB过定点−12,−2．若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设Ax0,y0，Bx0,−y0，由已知y0−2x0+−y0−2x0=8，得x0=−12.此时AB方程为x=−12，显然过点−12,−2．综上，直线AB过定点−12,−2．第6页（共6页） 20.（1）因为①当x=0时，f0=0，所以方程fx−x=0有实数根0；②fʹx=12+14cosx，所以fʹx∈14,34，满足条件0