2012年北京朝阳中考一模数学

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2012年北京朝阳中考一模数学一、选择题（共8小题；共40分）1.12的相反数是______A.−12B.12C.−2D.22.据报道，2011年北京市户籍人口中，60岁以上的老人有2460000人，预计未来五年北京人口“老龄化”还将提速．将2460000用科学记数法表示为______A.0.246×107B.24.6×105C.2.46×105D.2.46×1063.在△ABC中，∠A=2∠B=80∘，则∠C等于______A.40∘B.60∘C.80∘D.120∘4.若分式x2−9x−3的值为零，则x的值为______A.x≠3B.x≠−3C.x=3D.x=−35.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是______A.角B.等边三角形C.平行四边形D.圆6.在一个不透明的袋子中装有2个红球、1个黄球和1个黑球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，若随机从袋子里摸出1个球，则摸出黄球的概率是______A.14B.13C.12D.347.在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：成绩454647484950人数124251这次测试成绩的中位数和众数分别为______A.47，49B.47.5，49C.48，49D.48，508.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（abC.ab二、填空题（共4小题；共20分）9.函数y=x−4中自变量x的取值范围是______．10.分解因式：5ma2−5mb2=______．11.如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠B=20∘，则∠ADC的度数为______．12.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是BC，CD边上的点，（1）若CE=12CB，CF=12CD，则图中阴影部分的面积是______；第10页（共10页） （2）若CE=1nCB，CF=1nCD，则图中阴影部分的面积是______（用含n的式子表示，n是正整数）．三、解答题（共13小题；共169分）13.计算：27−6sin60∘+12−1−2−20．14.解不等式2x−1+3<5x，并把它的解集在数轴上表示出来．15.已知：如图，C是AE的中点，∠B=∠D，BC∥DE．求证：AB=CD．16.已知x2+3x−1=0，求4xx+2+x−12−3x2−1的值．17.如图，P是反比例函数y=kxx>0图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON=1，一次函数y=x+b的图象经过点P．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线y=x+b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的14时，直接写出点Q的坐标．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，求ED的长．第10页（共10页） 19.为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量．缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人?20.如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，F是⊙O上的点，且AF=BF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若sinC=35，AE=32，求sinF的值和AF的长．21.为了了解北京市的绿化进程，小红同学查询了首都园林绿化政务网，根据网站发布的近几年北京市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：（1）请根据以上信息解答下列问题：①2010年北京市人均公共绿地面积是多少平方米（结果精确到0.1）?②补全条形统计图；（2）小红同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高北京市人均公共绿地面积做贡献．她对所在班级的40名同学2011年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：种树棵数棵012345人数1056946如果按照小红的统计数据，请你通过计算估计，她所在学校的300名同学2011年共植树多少棵．第10页（共10页） 22.根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1=kx的图象如图1所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx的图象如图2所示．（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少?23.阅读下面材料：问题：如图1，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45∘，DC=2，求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图1中BD的长______；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30∘，DC=2，求BD和AB的长．24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点N2,−5，过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6．第10页（共10页） （1）求此抛物线的解析式；（2）点Px,y为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB，BC边相交于点E，F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．第10页（共10页） 答案第一部分1.A2.D3.B4.D5.D6.A7.C8.C第二部分9.x≥410.5ma+ba−b11.70∘12.23；nn+1第三部分13.原式=33−6×32+2−1=1．14.去括号，得2x−2+3<5x,移项，得2x−5x<2−3,合并同类项，得−3x<−1,系数化为1，得x>13.这个不等式的解集在数轴上表示为：15.∵C是AE的中点，∴AC=CE．∵BC∥DE，∴∠ACB=∠E．在△ABC和△CDE中，∠B=∠D,∠ACB=∠E,AC=CE,∴△ABC≌△CDE．∴AB=CD．16.4xx+2+x−12−3x2−1=4x2+8x+x2−2x+1−3x2+3=2x2+6x+4=2x2+3x+4.∵x2+3x−1=0，∴x2+3x=1．∴原式=6．17.（1）∵PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON=1，∴PN=2．∴点P的坐标为1,2．∵反比例函数y=kxx>0的图象、一次函数y=x+b的图象都经过点P，由2=k1，2=1+b得k=2，b=1．第10页（共10页） ∴反比例函数为y=2x，一次函数为y=x+1．      （2）Q10,1，Q20,−1．18.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=12AC=4，DO=BO．∵△EAC是等边三角形，∴EA=AC=8，EO⊥AC．在Rt△ABO中，BO=AB2−AO2=3．∴DO=BO=3．在Rt△AEO中，EO=AE2−AO2=43．∴ED=EO−DO=43−3．19.设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客x人．根据题意，得14400x+50=12800x.解得x=400.经检验，x=400是原方程的解且符合题意．答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人．20.（1）∵DA=DB，∴∠DAB=∠DBA．∵∠C=∠DBC，∴∠DBA+∠DBC=12×180∘=90∘．∴AB⊥BC．∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．      （2）如图，连接BE，BF．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90∘，∠AFB=90∘，∴∠EBC+∠C=90∘．∵∠ABC=90∘，∴∠ABE+∠EBC=90∘．∴∠C=∠ABE．∵∠AFE=∠ABE，∴∠AFE=∠C．∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC．∴sin∠AFE=35．在Rt△ABE中，AB=AEsin∠ABE=52．∵AF=BF，∴AF=BF=5．21.（1）①14.5×1+3.4%≈15.0，即2010年北京市人均绿地面积约为15.0平方米．第10页（共10页） ②如图，      （2）0×10+1×5+2×6+3×9+4×4+5×640×300=675．估计她所在学校的300名同学2011年共植树675棵．22.（1）y1=0.6x．y2=−0.2x2+2.2x．      （2）W=0.610−t+−0.2t2+2.2t，W=−0.2t2+1.6t+6．即W=−0.2t−42+9.2．所以甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元．23.（1）22      （2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC．∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA,DC=EC．∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30∘，∴∠BAD=∠DAE=30∘，∠DCE=60∘．∴△CDE为等边三角形．∴DC=DE．在AE上截取AF=AB，连接DF，∴△ABD≌△AFD．∴BD=DF．在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45∘，∴∠ADE=∠AED=75∘，∠ABD=105∘．∴∠AFD=105∘．∴∠DFE=75∘．∴∠DFE=∠DEF．∴DF=DE．∴BD=DC=2．作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中，BG=2．第10页（共10页） ∴在Rt△ABG中，AB=22．24.（1）∵y=ax2+bx+3过点M，N2,−5，MN=6，由题意，得M−4,−5．∴4a+2b+3=−5,16a−4b+3=−5.解得a=−1,b=−2.∴此抛物线的解析式为y=−x2−2x+3．      （2）设抛物线的对称轴x=−1交MN于点G，△DMN为直角三角形，则GD1=GD2=12MN=3．∴D1−1,−2，D2−1,−8．直线MD1为y=x−1，直线MD2为y=−x−9．将Px,−x2−2x+3分别代入直线MD1，MD2的解析式，得−x2−2x+3=x−1, ⋯⋯①−x2−2x+3=−x−9. ⋯⋯②解①得x1=1,x2=−4舍,∴P11,0．解②得x3=3,x4=−4舍,∴P23,−12．      （3）设存在点Qx,−x2−2x+3，使得∠QMN=∠CNM．Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，交MN于点H，则QHMH=tan∠CNM=4．即−x2−2x+3+5=4x+4，解得x1=−2，x2=−4（舍），∴Q1−2,3．（ii）若点Q在MN下方，同理可得Q26,−45．25.（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90∘，AP=1，CD=AB=2，∴PB=5，∠ABP+∠APB=90∘．∵∠BPC=90∘，∴∠APB+∠DPC=90∘．∴∠ABP=∠DPC．∴△ABP∽△DPC．∴APCD=PBPC，即12=5PC．∴PC=25．      （2）①∠PEF的大小不变．理由：过点F作FG⊥AD于点G．∴四边形ABFG是矩形．∴∠A=∠AGF=90∘．∴GF=AB=2，∠AEP+∠APE=90∘．∵∠EPF=90∘，∴∠APE+∠GPF=90∘．∴∠AEP=∠GPF．∴△APE∽△GFP．∴PFPE=GFAP=21=2．∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=PFPE=2，即tan∠PEF的值不变．∴∠PEF的大小不变．第10页（共10页） ②5．第10页（共10页）