2010年北京海淀区高考一模试题：数学（理）(3)

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1、2010年北京海淀区高考一模试题：数学（理）(3)一、选择题（共4小题；共20分）1.已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为______A.3或−3B.3或−1C.3D.−32.在复平面内，复数z=1−ii（i是虚数单位）对应的点位于______A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在同一坐标系中画出函数y=logax，y=ax，y=x+a的图象，可能正确的是______A.B.C.D.4.在四边形ABCD中，AB=DC，且AC⋅BD=0，则四边形ABCD是______A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形二、

2、填空题（共3小题；共15分）5.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为______．6.在二项式x2−ax5的展开式中，x的系数是−10，则实数a的值为______．7.如图，AB为⊙O的直径，且AB=8，P为OA的中点，过P作⊙O的弦CD，且CP:PD=3:4，则弦CD的长度为______．第8页（共8页）三、解答题（共1小题；共13分）8.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=B

3、C，且AB⊥BC，O为AC中点．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（3）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．四、选择题（共3小题；共15分）9.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为1,−3．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是______A.1,−π3B.2,4π3C.2,−π3D.2,−4π310.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是______A.−1B.1C.2D.1211.已知数列A：a1，a2，⋯

4、，an0≤a1

5、bm2；④若集合A∩B=A，则A⊆B．其中为真命题的是______（填上所有正确命题的序号）．13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1=10，双曲线的离心率的取值范围为1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是______．14.在平面直角坐标系中，点集A=x,yx2+y2≤1，B=x,yx≤4,y≥0,3x−4y≥0，则（1）点集P=x,yx=x1+3,y=y1+1,x1,y1∈A所表示的平面区域的面积为______；（2）点集Q=x,yx=

6、x1+x2,y=y1+y2,x1,y1∈A,x2,y2∈B所表示的平面区域的面积为______．六、解答题（共4小题；共52分）15.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随

7、机变量X的分布列和数学期望．16.已知函数fx=x+alnx，其中a为常数，且a≤−1．（1）当a=−1时，求fx在e,e2（e=2.71828⋯）上的值域；（2）若fx≤e−1对任意x∈e,e2恒成立，求实数a的取值范围．第8页（共8页）17.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且∣F1F2∣=2，点1,32在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且ΔAF2B的面积为1227，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．18.已知数列an满足：a1=0，an=2an2+1,n 为偶数n+12+2

8、an−12,n 为奇数，n=2,3,4