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1、课时提升作业(二十二)圆(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列命题中,其中正确的有( )①长度相等的两条弧是等弧;②面积相等的两个圆是等圆;③劣弧比优弧短;④菱形的四个顶点在同一个圆上.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.等弧是在同圆或等圆中能够重合的弧,长度相等的两条弧不一定是等弧,故①错误;等圆的半径相等,面积相等的两个圆的半径相等,是等圆,故②正确;在不同的圆中劣弧不一定比优弧短,故③错误;菱形的对角线不一定相等,四个顶点到对角线交点的距离不一定相等,故四个顶点不一定在同一个圆上,故④错误.正确的有1个.2.如图,AB是
2、☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于( )A.70°B.60°C.50°D.40°【解析】选D.∵∠BOC=110°,∴∠AOC=70°.∵AD∥OC,∴∠OAD=∠AOC=70°.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=70°,∴∠AOD=40°.3.如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在上,且不与M,N重合,当P点在上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( )A.逐渐变大 B.逐渐变小C.不变 D.不能确定【解析】选C.连接OP,∵直角三角形PAB中,AB2=PA2+PB2,
3、又∵矩形PAOB中,OP=AB,∴PA2+PB2=AB2=OP2.【知识归纳】圆的半径的作用 利用同圆或等圆的半径相等来解决一些求线段长度的问题很方便,往往和矩形、菱形的性质以及勾股定理联系在一起,特别是矩形的对角线相等利用的较多.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·黄冈中考)如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则所在圆的半径为 .【解析】连接OD,设圆的半径为x,即有OE=OD=x,∵M是CD的中点,∴DM=CD=2,∵EM=8,∴OM=EM-OE=8-x,又∵EM⊥CD,∴△ODM是直角三角形,∴OD2=OM2
4、+DM2,即x2=(8-x)2+22,解得x=.答案:【易错提醒】能作出辅助线,正确表示出直角三角形三边是关键.5.已知:如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°,则∠C= .【解析】连接OD,∵AB=2DE,AB=2OD,∴OD=DE,∴∠DOE=∠E=18°,∠ODC=∠DOE+∠E=36°,∵OC=OD,∴∠C=∠ODC=36°.答案:36°6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于 .【解析】连接CD,在R
5、t△ABC中,∵AD=BD,CD=AB=5,∴BC=CD=5,由勾股定理得AC=5.答案:5三、解答题(共26分)7.(8分)(2014·滨州实验质检)如图,已知半径为R的半圆O,过直径AB上一点C,作CD⊥AB交半圆于点D,且CD=R,试求AC的长.【解析】(1)当C点在A,O之间时,如图甲.由勾股定理OC==R,故AC=R-R=R.(2)当C点在B,O之间时,如图乙.由勾股定理知OC==R,故AC=R+R=R.【易错提醒】该类型的题目,学生往往只考虑一种情况,而出现解的遗漏,如本题学生易根据题干图的情况将点C在OA上的情况遗漏.8.(8分)如图,已知在△AB
6、C中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心.【证明】∵点D在∠BAC的角平分线上,∴∠1=∠2.又∵DE∥AC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AE=DE.又∵BD⊥AD于点D,∴∠ADB=90°,∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°,∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴AE=BE=DE,∴点E是过A,B,D三点的圆的圆心.【知识归纳】证明某一点是一个圆的圆心时,只需证出其他点到该点的距离相等,一般利用直角三角形斜边的中线的性质来证明,或利用等腰三角形的性质来证明等.【培优训
7、练】9.(10分)如图,射线OA经过☉O的圆心,与☉O相交于点A,点C在☉O上,且∠AOC=30°,点P是射线OA上的一个动点(与O不重合),直线PC与☉O相交于点B,问:(1)当点P在线段OA上满足BP=OB时,求∠OCP的度数.(2)当点P在线段OA的延长线上满足BP=OB时,求∠OCP的度数.【解析】(1)当P在线段OA上时,在△BOC中,OC=OB,∴∠OBC=∠OCB.在△OPB中,BP=OB,∴∠BOP=∠BPO.又∵∠BPO=∠OCB+∠AOC,∠AOC=30°,∠BOP+∠BPO+∠OBC=180°,∴3∠OCP=120°,∴∠OCP=40°.(
8、2)当P在线段OA的延长
