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1、课时提升作业十五抛物线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是 ( )A.直线 B.抛物线C.圆D.双曲线【解析】选A.因为点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的
2、直线.2.(2016·日照高二检测)抛物线y=4x2的焦点坐标是 ( )A.(0,1)B.(1,0)C.D.【解析】选C.由y=4x2得x2=y,所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p=,所以p=,所以焦点为.【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为2p=4而出错.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是 ( )A.y=-3x2B.y2=9xC.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x【解析】选D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是
3、y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=ay,将(1,-3)代入得a=-,所以方程为y=-3x2.4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 ( )A.B.C.1D.【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d==.【补偿训练】抛物线y2=8x的
4、焦点到直线x-y=0的距离是 ( )A.2B.2C.D.1【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d==1.5.(2016·肇庆高二检测)已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为 ( )A.1B.1或4C.1或5D.4或5【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,所以点M的坐标可设为(x,4)或(x,-4),又因为M到准线的距离为5,所以解得或二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x
5、上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】xM+1=10⇒xM=9.答案:97.(2016·烟台高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为 .【解析】由抛物线方程y2=2px(p>0),得其准线方程为x=-.又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),半径为4.依题意,得3-=4,解得p=2.答案:28.(2016·西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1
6、米后,水面宽 米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,
7、AF
8、=5.【解析】(1)双曲线方
9、程化为-=1,左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,所以p=6,所以方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),A点坐标为(m,-3).由抛物线定义得5=
10、AF
11、=
12、m+
13、.又(-3)2=2pm,所以p=±1或p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精
14、确到1m)【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意有P′(1,-1)在此抛物线上,代入得p=.故得抛物线方程为x2=-y.点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,即
15、AB
16、=,则
17、AB
18、+1=+1,因此所求水池的直径为
