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时间:2019-01-20
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1、小专题(十) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题类型1 针对腰长和底边长进行分类方法归纳:在解答已知等腰三角形边长的问题时,当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时,就要分类讨论,按腰和底边两种情况分类.若涉及边的长度,应运用三角形的三边关系进行辨别取舍.1.(武汉中考)平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是(A)A.5B.6C.7D.82.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得
2、△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有(B)A.7个B.6个C.5个D.4个3.若实数x,y满足
3、x-5
4、+=0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为25.类型2 针对顶角和底角进行分类方法归纳:对于等腰三角形,只要已知它的一个内角的度数,就能算出其他两个内角的度数,如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角,就要分两种情况来讨论.在分类时要注意:三角形的内角和等于180°;等腰三角形中至少有两个角相等.4.等腰三角形有一个角为52°,它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度?解:①若已知的这个角为顶角,则底角的度数为(18
5、0°-52°)÷2=64°,故一腰上的高与底边的夹角为26°;②若已知的这个角为底角,则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.5.如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半,求该等腰三角形各内角的度数.解:设∠A,∠B,∠C是该等腰三角形的三个内角,且∠A=∠B.设∠A=x°,则∠B=2x°.①若∠B是顶角,则∠A,∠C是底角,于是有∠C=∠A=x°.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴x+2x+x=180.解得x=45,故∠A=∠C=45°,∠B=90°;②若∠B是底角,∵∠A≠∠B
6、,∴∠A是顶角,∠C=∠B=2x°.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴x+2x+2x=180.解得x=36,故∠A=36°,∠B=∠C=72°.综上所述,等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳:根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形.不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同,比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部;直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点;钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部,因此在解
7、答时需要分类讨论.6.已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角,求底角的度数.解:由题意可判断该三角形不可能是直角三角形,可能是锐角三角形或钝角三角形,故分两种情况讨论:①如图1,垂直平分线DE与腰AC相交,且∠AED=50°,则∠A=40°,所以∠B=∠C=70°;②如图2,垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交,且∠AED=50°,则∠EAD=40°,∠BAC=140°,所以∠B=∠C=20°.综上可知,等腰三角形的底角为70°或20°.7.一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半,则
8、等腰三角形底角的度数是多少?解:设∠A为顶角,则∠ABC、∠ACB为底角.(1)若∠A为锐角,如图1,作BD⊥AC于点D,根据题意有BD=AB,∠BDA=90°,∴∠A=30°,∠ABC=∠ACB=75°;(2)若∠A为直角,根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”,这种情况无解;(3)若∠A为钝角,有三种情况:①如图2,作AD⊥BC于点D,根据题意有AD=AB,∠ADB=90°,∴∠ABC=∠ACB=30°;②如图3,作BD⊥CA的延长线于点D,根据题意有BD=BC,∠ADB=90°,∴∠ABC=∠ACB=30°;
9、③如图4,作BD⊥CA的延长线于点D,根据题意有BD=AB,∠ADB=90°,∴∠BAD=30°,∠ABC=∠ACB=15°.综上所述,等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.8.AC为等腰△ABD的腰BD上的高,且∠CAB=60°.求这个三角形各内角的度数.解:①如图1,高AC在△ABD的内部,因为∠CAB=60°,∠ACB=90°,所以∠B=30°.因为BA=BD,所以∠BAD=∠D=75°;②如图2,高AC在△ABD的外部,因为∠CAB=60°,∠ACB=90°,所以∠ABC=30°.所以∠ABD=150°.因为
10、BA=BD,所以∠BAD=∠D=15°;③如图3,高AC在△ABD的外部,因为∠CAB=60°,∠ACB=90°,所以∠B=30°.因为DA=DB,所以∠BAD=∠B=30°.所以∠ADB=120°.综上所述,这个三角形各内角的度数分别为30°,75°,75°或150°,15°,15°或1
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