2011导数部分及详细答案

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1、K例》设直线x=t与函数f（x）=x2g(x)=lnx的图像分别交于点1,N,则当

2、MN

3、达到最小吋t的值为1A.1B.—222K解》DTTTTK例3由直线x=yx=—,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为A.-B.1C.——•D.y/322K解DDK例H设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（l-a）x2-2（l-a）的单调性.K解》解:函数/（兀）的定义域为（0,+8）.2a(l—ci)x~—2(1—ci)x+1当d工1时，方程2a（l—a）x2-2（l-a）x+1=0的判别式△=12

4、(°一1)(a—丄<3丿①当0va＜+吋,A＞0,广（劝有两个零点,■丿»亠1J(Q-1)(3q-1)、c»_1,_l)(3d_1)2a2g(1—a)X丰>U,—H2a2q(1—a)2aJI当0＜兀vx［或r＞吃时，广（无）＞0,/（兀）在（Q召）与（兀2，+°°）内为增函数；当西V兀V花时,/'（X）＜0,/（兀）在（西,兀2）内为减函数；②当丄5aV1时,△50,广（x）n0,所以门兀）在（0,+00）内为增函数;③当d=咐，广（x）=-＞0（x＞0）,/⑴在（0,+◎内为增函数；X④当。＞咐仏＞

5、0,若二丄_如）（3—1）12a2a（l-a）1*J(a_l)(3a_l)2a2a(l-a)＜0,所以广（兀）在定义域内有唯一零点石,且当（）VXV曲时,广（兀）＞（）,/（无）在（0,占）内为增函数；当《¥＞占时，广(兀)vOJG)在(心+oo)内为减函数.0<<2<—31/■-1(0,X])(兀1*2)(兀2,+°°)(0,+oo)(0,西)(召,炖)-/(%)的单调区间如下表:(其中西=丄_J(Z)W=丄+如j)(3d-l))2ci2a(-ci)2a2a(-ci)K例》函数/("

6、)=x一3,+1在％二处取得极小值.K解》2K例》若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-or2—2加在x=l处有极值，则ab的最大值等于A.2B.3C.6D.9K解HDrlK例HI(e2+2x)dx等于J0A.1B.e-1C.eD.e+1K解HCK例》己知日,b是实数，函数f(x)=x3+ax.g(x)=x2+bx,ff(x)和g'(x)是f(x),g(x)的导函数，若fx)gx)A0在区间/上恒成立，则称/(尢)和g(x)在区间/上单调性一致⑴设Q>0,若/(兀)和g(x)在区间L-l,+oo

7、)上单调性一致，求b的取值范围;⑵设av0,且a工b,若/(尢)和g(Q在以日，方为端点的开区间上单调性一致,求I^b的最大值K解为解:广(兀)=3兀2+a,g©)=2兀+/?•(1)由题意知fx)gx)>0在［―l,+oo)上恒成立，因为a>0,故3F+q>0,进而2兀+Z?X0,即b>—2兀在区间［-1,+oo)上恒成立，所以b>2.因此b的取值范围是［2,+8).［⑵令fx)=(),解得r=土十亍若b>0,由Q<0得0e(a,b)・又因为广(0)g'(0)=ab<0.所以函数/(x)和g(

8、x)在S")上不是单调性一致的，因此b<0.现设b<0.当兀g(Yo,0)H±g'(x)<0;当兀w(-oc,-J—

9、)时，广(兀)>0.因此，当XW(Y),-时，fXx)gXx)<0.从而—Sci<0,于是—5bS0.33因此

10、a-b<丄，且当a=丄b=0时等号成立，33又当a=-丄,/?=0时，广(兀)g'(x)=6兀(疋一丄)，从而当兀丘(_丄,0)时广(x)gO)>0故当函数g和g(x)在(-+，0)上单调性一致，因此a-b的最大值为*K例11(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效

11、)已知函数f(x)=x3+3ar2+(3-6a)无-12€?-4{agR](I)证明：曲线y=/(x)在x=0处的切线过点(2,2)；(II)若/(x)在x=处取得极小值，^6(1,3),求3的取值范围.K解》解：(I)fx)=3x2+6ax+3—6a.由/'(0)=12q—4J''(())=3—6q得曲线y=/(兀)在x=0处的切线方程为由此知曲线y=/(兀)在％=0处的切线过点(2,2)仃I)由广(兀)=0得F+2o¥+1-2q=0.⑴当-y/2-l

12、口>血一1或QV—血—1吋,±[厂(兀)=0得X

13、=-a-JcT+2d—1,x*=—a+Jci~+2a-1,故兀=x>.由题设知1<—ci+Jcr+2a-1v3.当a>^2—1时,不等式1v—a+J/+2q-1<3无解.当a<-^2一1时，解不等式1v-Q+Jd+a—i<3得-？5<-血-1・2综合(i)(ii)得a的取值范围是(-

14、,->/2-1).K例》(本小题满分12分)(注意:年试邂眷丄作笛无敎)已知函数/(x)=%3+3磁2+(3