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时间:2018-11-08
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1、WORD格式可编辑导数专题复习(配详细答案)体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令得到两个根;第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;其中不
2、等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种:第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);例1:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,(1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围;(2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值.解:由函数得专业技术资料整理WORD格式可编辑(1)在区间上为“凸函数”,则在区间
3、[0,3]上恒成立解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于解法二:分离变量法:∵当时,恒成立,当时,恒成立等价于的最大值()恒成立,而()是增函数,则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)-22专业技术资料整理WORD格式可编辑例2:设函数(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立,求a的取值范围.(二次函数区间最值的例子)解:(Ⅰ)3aaa3a令得的单调递增区间为(a,3a)令得的单调递减区间为(-,a)和(3a,+)∴当x=a时,极小值=当x=3a时,
4、极大值=b.(Ⅱ)由
5、
6、≤a,得:对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。上是增函数.(9分)∴于是,对任意,不等式①恒成立,等价于又∴专业技术资料整理WORD格式可编辑点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种:构造函数求最值题型特征:恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为,(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)当时,求的值域;(Ⅲ)当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。解:(Ⅰ)∴,解得(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单
7、调递增,在上单调递减,在上单调递减又∴的值域是(Ⅲ)令思路1:要使恒成立,只需,即分离变量思路2:二次函数区间最值二、参数问题题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为在给定区间上恒成立,回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集例4:已知,函数.专业技术资料整理WORD格式可编辑(Ⅰ)如果函数是偶函数,求的极大值和极小值;(Ⅱ)如果函数是上的
8、单调函数,求的取值范围.解:.(Ⅰ)∵是偶函数,∴.此时,,令,解得:.列表如下:(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+递增极大值递减极小值递增可知:的极大值为,的极小值为.(Ⅱ)∵函数是上的单调函数,∴,在给定区间R上恒成立判别式法则解得:.综上,的取值范围是.例5、已知函数(I)求的单调区间;(II)若在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想(I)1、当且仅当时取“=”号,单调递增。2、a-1-1单调增区间:专业技术资料整理WORD格式可编辑单调增区间:(II)当则是上述增区间的子集:1、时,单调递增符合题意2、,综上,a
9、的取值范围是[0,1]。三、题型二:根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;第三步:解不等式(组)即可;例6、已知函数,,且在区间上为增函数.(1)求实数的取值范围;(2)若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.解:(1)由题意∵在区间上为增函数,∴在区间上恒成立(分离变量法)即恒成
10、立,又,∴,故∴的取值范围为(2)设,令得或由(1)知,①当时,,在R上递增,显然不合题意…②当时,,随的变
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