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1、课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(30分钟 50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·烟台高二检测)对下列命题的否定说法错误的是( )A.p:能被2整除的数是偶数;p:存在一个能被2整除的数不是偶数B.p:有些矩形是正方形;p:所有的矩形都不是正方形C.p:有的三角形为正三角形;p:所有的三角形不都是正三角形D.p:∃x0∈R,+x0+2≤0;p:∀x∈R,x2+x+2>0【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形,故选项C错误.2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述正确的是(
2、 )A.p:∃x0∈R,+1≠0B.p:∀x∈R,x2+1=0C.p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x0∈R,+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.3.(2014·广州高二检测)命题“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是( )A.∃x0>0,使得-x0≤0B.∃x0>0,使得-x0>0C.∀x>0,都有x2-x>0D.∀x≤0,都有x2-x>0【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,+1<0,则p是( )A.∃x0∈R,+1≥0B.∀x∈R,x
3、2+1≥0C.∃x0∈R,+1≠0D.∀x∈R,x2+1<0【解析】选B.命题p是一个特称命题,其否定为全称命题,p:∀x∈R,x2+1≥0.4.已知命题p:“对∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x·m+1=0”.若命题p是假命题,则实数m的取值范围是( )A.-2≤m≤2B.m≥2C.m≤-2D.m≤-2或m≥2【解题指南】根据p与p的真假性相反知p是真命题,然后求m的取值范围即可.【解析】选C.因为p是假命题,所以p是真命题.所以m=-≤-2.5.已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+<0;命题q:∃x0∈R,sinx0-cosx0=,则下列判断正确的是( )A.p
4、是真命题B.q是假命题C.p是假命题D.q是假命题【解析】选D.因为2x2+2x+=(2x+1)2≥0,所以p是假命题.又因为sinx-cosx=sin,所以∃x0=,使sinx0-cosx0=,故q是真命题,故选D.6.(2013·衡水高二检测)已知p:存在x0∈R,m+1≤0;q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假,则实数m的取值范围为( )A.m≤-2B.m≥2C.m≥2或m≤-2D.-2≤m≤2【解题指南】先判断命题p,q的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.【解析】选B.由p或q为假,得p,q都是假命题,从而p,q都
5、是真命题.p:对任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;q:存在x0∈R,+mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上所述,m≥2为所求.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定为 ,否命题为 ________________________.【解析】全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等.答案:有的同位角不相等 若两个角不是同位角,则它们不相等【误区警示】解答本题易混淆命题的否定与否
6、命题的概念,命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.8.(2014·长春高二检测)设命题p:∀x∈R,x2+ax+2<0,若p为真,则实数a的取值范围是 ___________________.【解析】因为p为真,又p:∃x0∈R,+ax0+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,所以a∈R.答案:a∈R9.命题“∃x0,y0<0,+≥2x0y0”的否定为 ______________________.【解析】命题是特称命题,其否定是全称命题,否定为:∀x,y<0,x2+y2<2xy.答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy三、解答题(每小题10分,
7、共20分)10.(2014·日照高二检测)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;当m≠0时,有m<0,Δ=4-4m2<0,所以m<-1.若q:∃x0∈R,+2x0-m-1=0为真,则方程+2x0-m-1=0有实根,所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.又p∧q为真,故p,q均为真命题
