9.3分式方程讲解与例题.doc

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1、9.3　分式方程1．了解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般步骤．了解解分式方程验根的必要性．2．能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程，并验根．3．掌握列分式方程解应用题的基本步骤．4．能熟练地应用分式方程的数学模型来解决现实情境中的问题．1．分式方程的概念(1)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．(2)分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数．例如x＋＝2，＝，＝等都是分式方程，而x2－2x＋1＝0，＝，－＝2(x是未知数)等都是整式方程，而不是分式方程．

2、【例1】下列方程中，分式方程有(　　)．(1)x＋＝3；(2)＝2；(3)＋＝；(4)＝.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于方程(1)，因为π是常数，所以该方程不是分式方程，是整式方程；方程(3)中的分母不含字母，所以不是分式方程．方程(2)(4)符合分式方程的概念，都是分式方程．答案：B2．分式方程的解法(1)把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，进一步求得分式方程的解，这是解分式方程的关键．本章中，解分式方程都是把分式方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程求解分式方程．分式方程的解题思路如下图：(2)解可化为

3、一元一次方程的分式方程的一般步骤是：①去分母，即在方程的两边乘以最简公分母，把原方程化为整式方程．②解这个整式方程．③验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去．(1)增根能使最简公分母等于0；(2)增根是去分母后所得的整式方程的根．以上步骤可简记为“一去(去分母)、二解(解整式方程)、三检验(检查求出的根是否是增根)”．【例2】解分式方程：(1)＋＝1；(2)－＝.分析：(1)中方程的最简公分母是(x－2)(x＋2)；(2)中方程的最简公分母是x(x＋1)(x－1)

4、．当方程有根时，检验的过程可以简写为经检验．解：(1)原方程两边同时乘以(x－2)(x＋2)，得x(x＋2)＋6(x－2)＝(x－2)(x＋2)，即x2＋2x＋6x－12＝x2－4，解这个整式方程，得x＝1.经检验x＝1是原方程的解．故原方程的解是x＝1.(2)原方程可化为＋＝，去分母，方程两边都乘以x(x＋1)(x－1)后，原方程化为整式方程7(x－1)＋3(x＋1)＝6x，解这个整式方程，得x＝1.经检验，x＝1时，最简公分母x(x＋1)(x－1)＝0.故x＝1是原方程的增根，原分式方程无解．在去分母时，根据等式的基本性质，方程

5、左右两端的每一项都要同乘以最简公分母，要避免某一项漏乘，从而导致错误．如本题(1)小题中右端的1去分母时，往往被忽略，忘记乘以(x－2)(x＋2)，从而导致错误．3．增根(1)增根的概念将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．如：若方程＋3＝有增根，则这个增根一定是x＝2.(2)增根产生的原因把分式方程转化为整式方程过程中，方程的两边都乘以的整式可能使分母为零，这样无形中去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，

6、于是就产生了如下两种情况：(1)如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；(2)如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤．【例3－1】解方程＝.分析：先去分母，再解整式方程，最后检验．解：去分母，得3(y－1)＝－6，解这个整式方程，得y＝－1.检验：当y＝－1时，分母y＋1＝0，原分式方程无意义，因此y＝－1是原方程的增根．故原分式方程无解．【例3－2】若解分式方程＋＝有增根，试求m的值．分析

7、：解分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2－4＝0，故解方程产生的增根有两种可能：x＝2或x＝－2，由增根的定义可知，x＝2或x＝－2是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．解：原方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，∵这个方程有增根，∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2.由于当x＝2时，m＝－4；当x＝－2时，m＝6.故m＝－4或6.解决此类问题可按如下步骤进行：(1)根据最简公分母确定增根；(2)化分式方程为整式方程；(3)把增根代入整式方程即可求得相关字母的

8、值．4．分式方程的应用分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法一样，不同的是，因为有了分式的概念，表示数与数的相依关系的代数式不受整式的限制．一般地，列分式方程解应用题步骤如下：(1)审