4.2证明（2）.doc

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1、§4.2证明（2）教学目标：1、进一步体会证明的含义；2、探索并理解三角形内角和定理的几何证明；3、通过一些简单命题的证明，训练学生的逻辑推理能力（掌握推理的基本方法与思路、要求），进一步熟练证明的方法和表述；4、让学生体验从实验几何向推理几何的过渡。重点与难点：本节教学的重点是探索三角形内角和定理的证明，进一步掌握证明的方法和表述。而例１是由较复杂的题设条件得出若干结论，用到多个定理，学生的思路通常不易形成，是本节教学的难点。教学设想：课本教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求，如明确前提和结论，能够用数学的

2、符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程。教师在教学时应引导学生着重分析证明的思路和方法，通过一定数量的推理证明的训练，逐步使学生掌握证明方法和思路。与图形性质的探索一样，在命题的证明的教学中，教师也要注意为学生对证明思路和方法的思考留有充分空间，同时还要注意学生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导。教学过程：一、复习证明的一般格式和表述，导入新课。（1）求证：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。提示：①如何写出已知、求证，并画出图形；②如何进行证明（结合学生口述进行投影

3、展示）。教师的主要任务是：依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善，并进行一定的纠错教学。这样，通过一个简单的命题的求证过程，让学生自己回顾证明一个命题的一般格式，并用自己的语言进行表述。（2）根据上述题目结合学生的回答引导学生回忆出证明一个命题的一般格式：①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程。二、合作交流，探究新知（一）通过一个简单的例子“三角形任何两边之和大于第三边”的证明过程，向学生

4、简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证，让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡。——可以通过“两点之间线段最短”来说明上述命题。在前面的学习中，学生们已经历了探索、并发现图形性质的过程，但没有给予严格的证明。在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这将有利于学生全面地理解证明。（二）利用命题“邻补角的平分线互相垂直”的证明过程让学生加深体会。已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB

5、，OF平分∠BOC。求证：OE⊥OF。证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC；∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC又∠AOB、∠BOC互为邻补角；∵∠AOB+∠BOC=180°∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=90°∴OE⊥OF（三）探究新知问题：三角形内角和定理是什么？——求证：三角形三内角和等于180°。注意：在强调证明的必要性时，不要否定实验、归纳的重要性。在数学上，要判断一个命题是否正确，需要经过证明，但要发现一个真理，实验、观察和归纳始终是一条重要的途径。因此本题的教学要先让学生对实验得到三角形内角和

6、定理有基本的认识，后再进行证明的思路进行教学，符合数学定理得到的过程。实验1、先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。实验2、将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。再让学生思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，这些线中哪些线容易产生相等的角？（学生小组之间相互合作，讨论学习，时间可稍长）。根据学生的回答，添辅助线并引导学生梳理推理的过程（此处可引导学生在不同的顶点处添加

7、辅助线）。之后师生共同完成推理过程．启发学生再思考，除了选三角形顶点作平行线之外，还有没有其他方法，比如选三角形边上一点（此处也可让学生相互讨论并尝试），师生共同探究出证明过程：1、在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）。他的想法可行吗？证明　过点A作DE∥BC。则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE　＝∠DAE＝180º（平角的定义）2、证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//A

8、B，则∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）；∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）。∵∠1+∠2+∠ACB＝180°∴∠A+∠B+∠ACB＝180°3、可在BC边上任意取一点P，作PD∥AB，交AC于点D；作PE∥AC，交AB于点E。证明：∵PD∥AB（已知）∴∠DPC=∠B；∠CDP=∠A(两直线平行，同位角相等)又∵PE∥AC∴∠EPB=∠C(两直线平行，