高考数学（理）二轮复习导数的热点问题 ---精校解析Word版

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1、基础过关1.已知函数f(x)=(x+b)(ex-a)(b>0)的图像在点(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.(1)求a,b的值;(2)若m≤0,证明:f(x)≥mx2+x.2.已知函数f(x)=x2-(2-m)x+m(1-m)lnx(m∈R).(1)若m=2,求f(x)的极值.(2)是否存在实数m,使得函数f(x)在区间(1,+∞)上是单调函数?若存在,请求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.3.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x+m(m∈R).(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围;(2)

2、若x1,x2是函数F(x)=f(x)-g(x)的两个零点,且x1

3、调区间;(2)若f(x)+m+1>0恒成立,求实数m的最大整数值.限时集训(五)基础过关1.解:(1)由题意知f(-1)=(-1+b)=0,又f'(x)=(x+b+1)ex-a,所以f'(-1)=-a=-1+.若a=,则b=2-e<0,与b>0矛盾,故a=1,b=1.(2)证明:由(1)可知f(x)=(x+1)(ex-1),所以f(0)=0,f(-1)=0.由m≤0,可得x≥mx2+x.令g(x)=(x+1)(ex-1)-x,则g'(x)=(x+2)ex-2,令t(x)=g'(x),则t'(x)=(x+3)ex.当x<-3时,t'(x)<0

4、,g'(x)单调递减,且g'(x)<0;当x>-3时,t'(x)>0,g'(x)单调递增,且g'(0)=0.所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且g(0)=0,故g(x)≥g(0)=0,即(x+1)(ex-1)≥x≥mx2+x,又等号可同时成立,所以f(x)≥mx2+x.2.解:(1)当m=2时,f(x)=x2-2lnx(x>0),则f'(x)=2x-==(x>0).令f'(x)=0,得x=1.列表如下:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗由上表可得,f(x)的极小值为f(1)=1,无极大

5、值.(2)f'(x)=2x-(2-m)+==(x>0).当m=时,f'(x)>0,f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,满足题意;当>1-m,即m>时,若f(x)在区间(1,+∞)上是单调函数,则有≤1,故0),则有F'(x)=-1=,当x>1时,F'(x)<0,当00,

6、所以F(x)在(1,+∞)上单调递减,在(0,1)上单调递增,故F(x)在x=1处取得最大值,最大值为-1-m.若f(x)≤g(x)恒成立,则-1-m≤0,即m≥-1.(2)证明:由(1)可知,若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,则m<-1,0F.由F(x1)=F(x2)=0,得m=lnx1-x1,即证ln--m=ln-+x1-lnx1<0.令h(x)=-+x-2lnx(00,故h(x)

7、在(0,1)上单调递增,则h(x)0),∵f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)=0,即a-1=0,∴a=1.经检验,当a=1时,f(x)在x=1处取得极小值.(2)f'(x)=,令g(x)=2ax2-ax-1(x≥1).①当a=0时,f'(x)=<0,f(x)在[1,+∞)上单调递减.又∵f(1)=0,∴当x≥1时,f(x)≤0,不满足f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立.②当a>0时,二次函数g(x)的图像开口向上,对称轴为直线x=,过点(0,-1).(i)当

8、g(1)≥0,即a≥1时,g(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,∴f'(x)≥0,从而f(x)在[1,+∞)上单调递增.又∵f(1)=0,∴当x≥1时,f(x)≥0,满足f(x)≥