高考专题 理科选做题-高考数学走出题海之黄金100题---精校解析 Word版

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1、1．如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱上一点，是的中点．（1）若是的中点，证明：平面平面；（2）若平面与平面的夹角为，求的长．【答案】（I）见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）证明垂直于面中的两条相交直线，则面.(Ⅱ)建立空间直角坐标系求解.&网∵平面∴平面平面.(Ⅱ)取的中点为原点,直线分别为轴,建立如图所示坐标系,解得,即2．如图（1），在五边形中，，，，，是以为斜边的等腰直角三角形.现将沿折起，使平面平面，如图（2），记线段的中点为.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.【答案】（1）

2、见解析；（2）.【解析】【试题分析】（1）运用面面垂直的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式运用向量的数量积公式进行分析求解：（2）∵平面平面，且，∴平面，∴.∴两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵为等腰直角三角形，且，∴，∴，，，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则有，∴，取，得，∵平面，∴平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则，∴平面与平面所成的锐二面角大小为.&网点睛：立体几何是高中数学中传统的经典内容，也是高考重点考查的考点与热

3、点。这类问题是设置旨在考查空间线面的位置关系与角度、距离等度量关系等知识的运用能力。线面的垂直与平行的推证常常要借助判定定理进行分析；而角度距离的计算与求解则常常需要建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式及数量积公式进行分析求解。3．直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1)若，求的值；(2)若，求直线与平面所成的角．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出，，利用，求出的值；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，求出向量的夹角的余弦

4、值可得结果.试题解析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，&网则,，，，由得，即解得．解法二：联结，则，，平面平面所以是直线与平面所成的角；在中，所以所以所以直线与平面所成的角为点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为或相减为，且满足.4．如图甲所示，是梯形的高，，，，现将梯形沿折起如图乙所示

5、的四棱锥，使得，点是线段上一动点.（1）证明：和不可能垂直；（2）当时，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析;（2）.【解析】试题分析：由于折叠后，经过计算知，这样两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标．（1）否定性命题，可假设，同时设（），利用向量垂直计算出，如果满足说明存在，如果不满足说明不存在；（1）设其中，所以，，假设和垂直，则，有，解得，这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直.（2）因为，所以,设平面的一个法向量是，因为，，所以，，即,取,而，所以,所以与平面所成角的正弦值为.&

6、网5．如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上.（1）当为何值时，平面？证明你的结论；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）（2）试题解析：（1）当时，平面，证明如下：在梯形中，设，连接，因为，，所以，又，因为∽,因此，所以，因为是矩形，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）在平面内过点作，因为平面平面，且交线为，则平面，即，，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则，∴，取，同理可得平面的法向量，所以，因为二面角是锐角

7、，所以其余弦值是.6．如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且.（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，，，，，，，则，，，，.&网若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然

8、后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性7．设集合，在集合中定义一种运算“"，使得．（1）证明：；（2）证明：若，则.【答案】（1）见解析（2）见解析试题解析：（1）证明：由已知得，∴，而，所以结论正确.（2）证明：由已知