高考专题第56题 不等式的恒成立恰成立能成立问题精品之高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版

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1、第56题不等式的恒成立、恰成立、能成立问题I．题源探究·黄金母题【例1】当取何值时，一元二次不等式对一切实数都成立？【解析】由已知结合二次函数的图像可得，解得．所以当时，一元二次不等式，对一切实数都成立．精彩解读【试题来源】人教版A版必5P4例3．【母题评析】本题考查一元二次不等式恒成立参数取值范围问题．不等式恒成立问题，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】合理运用二次函数的图像及其性质解题．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津理8】已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，，又（时取

2、等号），【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质，属于创新题，有一定的难度．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】1．解决此类问题的关键是运用函数图像及其性质（数形结合）解题．（时取等号），，当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），．综上．故选A．【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围．2．一般不

3、等式恒成立求参数1．可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2．也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3．也可转化为的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围．3．对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．III．理论基础·解题原理（1）对一切恒成立（2）对一切恒成立IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏大．【技能方法】若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上；若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上．如果函数在区间上

4、不存在最值，那么也可以根据函数值域的端点值得出类似的等价关系．【易错指导】在一元二次不等式的恒成立问题中要特别注意二次项的系数，当这个系数是不确定的字母时，要分其大于零、等于零和小于零的情况进行讨论．V．举一反三·触类旁通考向1不等式的恒成立问题、恰成立、能成立问题【例1】【2018贵州省遵义航天高级中学高一下学期期中考试】若不等式的解集是R，则的范围是A．B．C．D．【答案】A详解：由题意得不等式在上恒成立．①当时，不等式为，不等式恒成立．符合题意．②当时，由不等式恒成立得，解得．综上，所以实数的范围是，故选A．【名师点睛】不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，不等

5、式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．【例2】【2018四川宜宾市高一上学期期末考】当时，不等式恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则不等式恒成立转化为在上恒成立，则，整理得，解得或，所以实数的取值范围是，故选A．【例3】【2018甘肃天水一中高三上学期第二学段（期中）】对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【名师点睛】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来．二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论．当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在轴的下方，故抛物线开口向下且和轴没交

6、点，即判别式小于0．综合两种情况可得所求范围．【跟踪练习】1．【2018河北省武邑中学高二上学期期末考试】对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当m=0时，，不等式成立；设，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m<0且△<0得到：解得−4

7、单调递减，故选B．3．【2018山东济南一中高一上学期期末考】若对于任意[－1，1]，函数的值恒大于零，则的取值范围是()A．(-∞‚1)∪(3，+∞)B．C．D．【答案】A【名师点睛】不等式恒成立问题的一般思路是转化为函数的最值来处理，解此类型的一般思路是：（1）观察函数的变量是哪个，函数形式是二次，还是指数，还是对勾函数，函数结构较为复杂时可以利用求导，根据函数的单调性，求出函数最值即可；（2）对于一次函数恒大与0或恒小于0的问题，可以直接转化为两个端