导数是研究函数性质的重要工具,可用来求函数的单调区间、

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1、导数是研究函数性质的重要工具，可用来求函数的单调区间、函数的极值和最值等等，在处理与实际生活中的最优化问题有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质。因此，可以利用导数作为工具得出函数性质解决问题，下面从三个角度来谈导数在生活中优化问题的应用。一、面积、容积的最值问题1．用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图所示),问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？思路点拨：　设出所截正方形的边长为x,则该容器的底面

2、边长和高均可用x表示,得到容积关于x的函数,用导数法求解.解：设容器的高为xcm,容器的体积为V(x)cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(00,V(x)是增函数;当10

3、(x)只有当x＝10时取得最大值,其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3).故当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积是19600cm3.点评：解决有关面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.二、　费用(用材)最省问题2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以何种速度航行时,能使行驶

4、每千米的费用总和最小？解：设船速为x(x>0),燃料费用为Q元,则Q＝kx3.由6＝k×103,得k＝.∴Q＝x3.∴总费用y＝·＝x2＋.y′＝x－,令y′＝0,得x＝20.当x∈(0,20)时,y′<0,此时函数单调递减;当x∈(20,＋∞)时,y′>0,此时函数单调递增.∴当x＝20时,y取得最小值.∴此轮船以20千米/时的速度行驶时,每千米的费用总和最小.点评：　实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍

5、去不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.三　利润最大问题3．某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2,其中3

6、品每日的销售量y＝＋10(x－6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

7、千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.点评：解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有:(1)利润＝收入－成本;(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.下面是对导数在生活中优化问题的应用的三点看法：1．在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题.我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大(小)值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题.解答此类问题时，

8、需要抓住四个基本步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x).(2)求导函数f′(x),解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大者为最大值,最小者为最小值.(4)依据实际问题的意义给出答案.失误防范：(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.例如,长度、宽