1、第二章2.3A级 基础巩固一、选择题1.我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时,在由“n=k时论断成立⇒n=k+1时论断也成立”的过程中( A )A.必须运用假设B.n可以部分地运用假设C.可不用假设D.应视情况灵活处理,A,B,C均可[解析] 由“n=k时论断成立⇒n=k+1时论断也成立”的过程中必须运用假设.2.用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加的项为( D )A.(2k)2 B.(2k+3)2C.(2k+2)2D.(2k+1)2[解析
3、法( D )A.过程全都正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确[解析] n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.4.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步的证明时,正确的证法是( C )A.假设n=k(k∈N*)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立B.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立C.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+2时
4、命题也成立D.假设n=2k+1(k∈N)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立[解析] ∵n为正奇数,当n=k时,k下面第一个正奇数应为k+2,而非k+1.故应选C.5.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为( C )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2[解析] 增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选C.6.观察下列各式:已知a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7
5、,a5+b5=11,…,则归纳猜测a7+b7=( D )A.26B.27C.28D.29[解析] 观察发现,1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,∴a7+b7=29.二、填空题7.(2017·无锡期末)一个与自然数有关的命题,若n=k(k∈N)时命题成立可以推出n=k+1时命题也成立.现已知n=10时该命题不成立,那么下列结论正确的是:__③__(填上所有正确命题的序号)①n=11时,该命题一定不成立;②n=11时,该命题一定成立;③n=1时,该命题一定不成立;④至少存在一个自然数,使n=n0时,该命题成立.[解析