人教A版2020年高中数学选修2-2练习：第2章 推理与证明2.3_含解析.doc

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1、第二章2.3A级　基础巩固一、选择题1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中(　A　)A．必须运用假设B．n可以部分地运用假设C．可不用假设D．应视情况灵活处理，A，B，C均可[解析]　由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加的项为(　D　)A．(2k)2　　　　　　　　B．(2k＋3)2C．(2

2、k＋2)2D．(2k＋1)2[解析]　用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)的过程中，第二步，假设n＝k时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)，那么，当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2，等式左边增加的项是(2k＋1)2，故选D．3．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即

3、＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　D　)A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析]　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D．4．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　C　)A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是

4、正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C．5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　C　)A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)

5、＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C．6．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝(　D　)A．26B．27C．28D．29[解析]　观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题7．(2017·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③__(

6、填上所有正确命题的序号)①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立；③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．[解析]　由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，(否则n＝11也成立)．同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．所以③正确．故答案为③.8．(2016·九江高二检测)观察下列等式，照此规律，第n个等式为__n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2__.1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254

7、＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…[解析]　将原等式变形如下：1＝1＝122＋3＋4＝9＝323＋4＋5＋6＋7＝25＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72…由图知，第n个等式的左边有2n－1项，第一个数是n，是2n－1个连续整数的和，则最后一个数为n＋(2n－1)－1＝3n－2，右边是左边项数2n－1的平方，故有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.三、解答题9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n

8、∈N*).求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．[解析]　由已知得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，可得结论成立．②假设当