人教A版2020年高中数学选修2-2练习：第2章 推理与证明2.1.1_含解析.doc

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1、第二章2.12.1.1A级　基础巩固一、选择题1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是(　D　)①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．2．(2016·潍坊高

2、二检测)已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，则数列{an}的一个通项公式为an＝(　B　)A．B．C．D．3．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到(　D　)A．空间中平行于同一直线的两条直线平行B．空间中平行于同一平面的两条直线平行C．空间中平行于同一直线的两个平面平行D．空间中平行于同一平面的两个平面平行4．(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是(　A　)A．白色B．黑色C．白色的可能性较大D．黑色的可能性较大5．(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的

3、是(　C　)A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”6．(2017·长春三模)设n∈N＋，则＝(　A　)A．B．C．D．[解析]　＝＝＝＝个．故选A．二、填空题7．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋

4、1n2＝　(－1)n＋1　.[解析]　注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1.8．观察下列等式：(1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；……照此规律，第n个等式可为__(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)__．[解析]　观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，

5、等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．三、解答题9．(2016·德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系.[解析]　将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△AB

6、C在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC．证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥DE，AO⊥BC．∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AE，BC⊥DE.∴S△ABC＝BC·AE，S△BOC＝BC·OE，S△BCD＝BC·DE.在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S＝S△BOC·S△BCD．10．已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝，sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.请写出一个具有一

7、般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性.[解析]　等式为sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝sin2α＋＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝.B级　素养提升一、选择题1．观察下列式子：