24-平面向量的数量积-基础

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1、2・4平面向量的数量积【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积1.平面向堡数量积(内积)的定义已知两个非零向量方与它们的夹角是&,则数量bcos0叫方与厶的数量积，记作a-b,即有a-b=abcosO(05&5龙).并规定6与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：bc

2、os。叫做向量弘在a方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos&的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成7几今后要学到两个向量的外积axb,而7乙是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“・”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替.(3)在实数中，若dHO,且=则b=0；但是在数量积中，若2工0,且ab=O,不能推出^=0.因为其中COS&有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当&为锐角

3、时投影为正值；当&为钝角时投影为负值；当&为直角时投影为0；当&二0。时投影为当&二180。时投影为一”.要点二：平面向量数量积的几何意义数量积方必表示方的长度

4、亦与乙在方方向上的投影乙COS&的乘积，这是方•乙的几何意义.图(1)(2)(3)所示分别是两向量方Z夹角为锐角、钝角、直角时向量乙在向量方方向上的投影的情形，其中OB}=

5、b

6、cos&,它的意义是，向量厶在向量方方向上的投影是向量OB；的数量，即西=0好(2)事实上，当&为锐角时，由于cos&>(),所以OBX>0；当&为钝角时，由于COS

7、&V0,所以<0；当&=90°时，由于cos&=0,所以O妨=0,此时O与色重合；当0=0°时，由于cos&=l,所以OB,=b；当0=180°时，由于cos&=-l,所以OB{=—b.要点三：平面向量数量积的性质设方与乙为两个非零向量，2是与厶同向的单位向量.1.纟・a=a-e=acos&3•当a与为同向时，ab=ab当a与乙反向时，a^b=-ab特别的aa=a4.cos0=Clb1.a'b

8、(久可3.分配律：(a+可•c=a•c+厶•c要点诠释：般q与c不1.已知实数a、b、c(bHO),则ab二be二>a=c.但是a-h=hea=c；2.在实数中，有(a-b)c=a(b-c),但是(d•可

9、a

10、2=x2+才或

11、q

12、=^x2+y23.如果表示向量方的有向线段的起

13、点和终点的坐标分别为(旺,))、(x29v2),那么

14、a

15、=Jy—勺尸+①一儿)2(平面内两点间的距离公式)•要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件TTTTTTallboa=ab(bH0)o(x,,y)=y2)(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件a丄方<=>d・b=0ox{x2+开y2=0(3)求夹角问题.由向量a,5数量积可知，若它们的夹角为贝ija•厶=

16、a

17、

18、引cos&,利用cos&=ab二西E+X儿UJ西2+廿2.J%+）厂⑷求线段

19、的长度，可以利用冋=捋或

20、聪

21、=/七_壬）2+（儿_必）2【典型例题】类型一：平面向量数量积的概念例1.已知2、b.7是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（）®a•b=±a-

22、&

23、<=>a//b；②a、5反向u>a•b=—a

24、•仏

25、；③a丄b<^ci+b=a—b\④a=b<^>a・c=b・c.A.1个B・2个C.3个D.4个【答案】C【解析】（1）Ta•b=a

26、b

27、cos0./.

28、±1a•b=±

29、tz\hRa乙为非零向量可得cos0=±l,・・.0=0或兀，/

30、.a//b,且以上各步均可逆，故叙述①是正确的.（3）当方丄厶时,将向量方、（2）若0、弘反向，则a、乙的夹角为JI,:.a•b=a

31、^

32、cosn=—

33、6r

34、

35、5

36、且以上各步均可逆，故叙述②是正确的.乙的起点确定在同一点，则以向量2、/；为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有a^b=a-b.反过來，若a+b=a-b,则以方、5为邻边的四边形为矩形，・••方丄乙，故叙述③是正确的.（4）当a=b