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《利用空间向量求解立体几何中的角-2019届高考数学（理）提分必备30个黄金考点---精校解析Word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【考点剖析】1.命题方向预测：空间角的计算是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角.2.课本结论总结：一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：①a＝λb⇒a∥b
2、；②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R使λa＝μb.③若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比
3、实数加、减、乘的运算律进行学习．三种成角(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是[0，π]．3.名师二级结论：1.夹角计算公式(1)线线角：直线与直线所成的角θ，如两直线的方向向量分别为a，b，则.(2)线面角：直线与平面所成的角θ，如直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则.(3)面面角：两相交平面所成的角θ，两平面的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝
4、cos〈n1，n2〉
5、.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定cosθ＝
6、cos〈n1，n2〉
7、还是cosθ＝－
8、cos〈n1，n2〉
9、.2.距离公
10、式(1)点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；(2)点线距：点M到直线a的距离，如直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线a的距离d＝
11、
12、sin〈，a〉；(3)线线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；(4)点面距：点M到平面α的距离：如平面α的法向量为n，平面α内任一点为N，则点M到平面α的距离d＝
13、
14、
15、cos〈，n〉
16、＝；(5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；(6)面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离.4.考点交汇展示：(1)求空间角与
17、三视图的交汇三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.（2）易得平面PMN的法向量为.，设平面ABC的法向量为，则，所以.(2)求空间角与平行及垂直关系的交汇【2018年理数全国卷II】如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设，则.设平面的法向量为.由得，可
18、取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以与平面所成角的正弦值为.(3)求空间角与面积、体积的交汇【2018年全国卷Ⅲ理】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,
19、故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.【考点分类】考向一利用空间向量求空间角1.【2018年江苏卷】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AA
20、1=2，所以．所成角的正弦值为．2.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．（Ⅰ）证明：
