平面向量的数量积及应用-2019届高考数学（理）提分必备30个黄金考点---精校解析Word版

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1、【考点剖析】1.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与平面几何、三角函数、解析几何、不等式等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查．2.课本结论总结：（1）两个向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.③向量垂直：如果向量a与b的夹角是

2、90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（2）平面向量数量积①已知两个非零向量a与b，则数量

3、a

4、

5、b

6、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.向量的投影：

11、

12、叫向量在向量方向上的投影当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.②a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

13、a

14、与b在a的方向上的投影

15、b

16、cosθ的乘积．（3）向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.②a⊥ba·b＝0.③a·a＝

17、a

18、2，.④cosθ＝.(θ为a与b的夹角)⑤

19、

20、a·b

21、≤

22、a

23、

24、b

25、.（4）数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a.②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．（5）数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：①a·b＝a1b1＋a2b2.②a⊥ba1b1＋a2b2＝0.③

26、a

27、＝.④cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)3.名师二级结论：(1)向量b在a的方向上的投影为

28、b

29、cosθ=.（2）若向量a∥b，且b=，则可设a=.4.考点交汇展示：(1)与平面几何交汇1.【2018年理数天津卷】如图，

30、在平面四边形ABCD中，，，，.若点E为边CD上的动点，则的最小值为A.B.C.D.【答案】A结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.(2)与平面解析几何交汇2.【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.(3)与不等式交汇3.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考

31、】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】4.【2016高考浙江】已知向量a、b,｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜,则a·b的最大值是．【答案】【解析】，即最大值为.（3）与三角函数交汇5.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角的正切值为，，则的值为____．【答案】.【解析】令，则，所以，所以，由正弦定理可得，所以.故答案为：6.【2016高考浙江】已知平面向量a，b，

32、a

33、=

34、1，

35、b

36、=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则

37、a·e

38、+

39、b·e

40、的最大值是______．【答案】【考点分类】考向一平面向量数量积及其几何意义1.【2019届四川省成都市第七中学零诊】如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】2.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.【答案】【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝

41、a

42、

43、b

44、cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积

45、的坐标形式求解；③用平面向量数量积的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【解题技巧】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用

46、

47、计算;思路2，利用计算.3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个

48、向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.例已知平面向量a,b,c，下列说法中：①若a·b=a·c,则a=c；②a(b·c)=(a·b)c;③若a·b=0,则a=0或b=0;④a·b≤

49、a

50、·

51、b

52、，正确