导数的应用（单调性最值极值）高考数学（理）提分必备30个黄金考点---精校解析Word版

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1、【考点剖析】1.命题方向预测：1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点．考查的形式有两种，一是直接考查单调性、极值，二是在研究函数零点、不等式证明中间接考查单调性、极值等.2.选择题、填空题侧重于考查导数的运算及导数的几何意义，解答题侧重于利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，往往与函数方程、不等式、数列、解析几何等交汇命题，一般难度较大.3.利用导数解决生活中的最优化问题，近几年也有考查.2.课本结论总结：1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递

2、增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)

3、在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一

4、个是最小值．4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．5．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3.名师二级结论：1.

5、f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2.函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的．3.函数的极大值不一定比极小值大．4.对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的既不充分也不必要条件．5.函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．6.可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，

6、且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．7．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．8．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4.考点交汇展示：(1)导数与三角函数交汇例1.【2018年理新课标I卷】已知函数，则的最小值是

7、_____________．【答案】【解析】，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.例2.【2017北京，理19】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.(2)导数与数列交汇例1.已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立.【答案】（1）详见

8、解析；（2）详见解析.当时，取得极值，∴，此时，，易知，而是非零常数，故数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，，于是对一切，

9、恒成立，即恒成立，等价于（）恒成立（∵），设，则，令，得，当时，，∴在区间上单调递减；当时，，∴在区间上单调递增，从而当时，函数取得最小值，因此，要是（）式恒成立，只需，即只需，而当时，，且，于