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《2018届高考数学黄金考点精析精训考点15平面向量的数量积理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、考点15平面向量的数量积【考点剖析】1.最新考试说明：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．2.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的
2、考查．3.课本结论总结：（1）两个向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（2）平面向量数量积①已知两个非零向量a与b，则数量
3、a
4、
5、b
6、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝
7、a
8、
9、b
10、cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.向量的投影：
11、
12、叫向量在向量
13、方向上的投影当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.②a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度
14、a
15、与b在a的方向上的投影
16、b
17、cosθ的乘积．（3）向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.②a⊥ba·b＝0.③a·a＝
18、a
19、2，.④cosθ＝.(θ为a与b的夹角)⑤
20、a·b
21、≤
22、a
23、
24、b
25、.（4）数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a.②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．（5）数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b
26、1，b2)，则：①a·b＝a1b1＋a2b2.②a⊥ba1b1＋a2b2＝0.③
27、a
28、＝.④cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)4.名师二级结论：(1)向量b在a的方向上的投影为
29、b
30、cosθ=.（2）若向量a∥b，且b=，则可设a=.5.课本经典习题：(1)新课标A版第108页，习题2.4A组第3题已知
31、
32、=2，
33、
34、=5，·=-3，求
35、+
36、,
37、-
38、.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题.(2)新课标A版第108页，习题2.4A组第7题已知
39、
40、=4，
41、
42、=3，(2-3)·(2+)=61，
43、求与的夹角.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题.6.考点交汇展示：(1)与平面几何交汇【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为.【答案】【解析】试题分析：,则.(2)与不等式交汇1.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B2.【2016高考浙江】已知向量a、b,｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜,则a·b的最大值是．【答案】【解析】，即最大值为.（3）与三角函数交汇【2016高考
44、浙江】已知平面向量a，b，
45、a
46、=1，
47、b
48、=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则
49、a·e
50、+
51、b·e
52、的最大值是______．【答案】【解析】由已知得，不妨取，，设，则，取等号时与同号．所以，（其中，取为锐角）．显然易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到．故所求最大值为．【考点分类】热点1平面向量数量积及其几何意义1.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.【答案】2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三
53、等分点，，，则的值是▲.【答案】【解析】因为,,因此，．【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝
54、a
55、
56、b
57、cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；③用平面向量数量积的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【解题技巧】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量在向量
58、方向上的投影有两种思路：思路1，用
59、
60、计算;思路2，利用计算.3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.例已知平面向量a,b,c，下列说法中：①若a·b=a·c,则a=c；②a(b·c
