2018届高考数学黄金考点精析精训考点15平面向量的数量积理

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1、考点15平面向量的数量积【考点剖析】1.最新考试说明:(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.命题方向预测:向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点,属中低档题目.平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等,常以客观题形式命题;解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题,重视数形结合与转化化归思想的

2、考查.3.课本结论总结:(1)两个向量的夹角①定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.②范围:向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=0°;a与b反向时,夹角θ=180°.③向量垂直:如果向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作a⊥b.(2)平面向量数量积①已知两个非零向量a与b,则数量

3、a

4、

5、b

6、·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=

7、a

8、

9、b

10、cosθ,其中θ是a与b的夹角.规定0·a=0.向量的投影:

11、

12、叫向量在向量

13、方向上的投影当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.②a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度

14、a

15、与b在a的方向上的投影

16、b

17、cosθ的乘积.(3)向量数量积的性质①如果e是单位向量,则a·e=e·a.②a⊥ba·b=0.③a·a=

18、a

19、2,.④cosθ=.(θ为a与b的夹角)⑤

20、a·b

21、≤

22、a

23、

24、b

25、.(4)数量积的运算律①交换律:a·b=b·a.②分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.③对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).(5)数量积的坐标运算设a=(a1,a2),b=(b

26、1,b2),则:①a·b=a1b1+a2b2.②a⊥ba1b1+a2b2=0.③

27、a

28、=.④cosθ==.(θ为a与b的夹角)4.名师二级结论:(1)向量b在a的方向上的投影为

29、b

30、cosθ=.(2)若向量a∥b,且b=,则可设a=.5.课本经典习题:(1)新课标A版第108页,习题2.4A组第3题已知

31、

32、=2,

33、

34、=5,·=-3,求

35、+

36、,

37、-

38、.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题.(2)新课标A版第108页,习题2.4A组第7题已知

39、

40、=4,

41、

42、=3,(2-3)·(2+)=61,

43、求与的夹角.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题.6.考点交汇展示:(1)与平面几何交汇【2017天津,文14】在△ABC中,,AB=3,AC=2.若,(),且,则的值为.【答案】【解析】试题分析:,则.(2)与不等式交汇1.对任意向量,下列关系式中不恒成立的是()A.B.C.D.【答案】B2.【2016高考浙江】已知向量a、b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|,则a·b的最大值是.【答案】【解析】,即最大值为.(3)与三角函数交汇【2016高考

44、浙江】已知平面向量a,b,

45、a

46、=1,

47、b

48、=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则

49、a·e

50、+

51、b·e

52、的最大值是______.【答案】【解析】由已知得,不妨取,,设,则,取等号时与同号.所以,(其中,取为锐角).显然易知当时,取最大值1,此时为锐角,同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.【考点分类】热点1平面向量数量积及其几何意义1.【2017天津,理13】在中,,,.若,,且,则的值为___________.【答案】2.【2016高考江苏卷】如图,在中,是的中点,是上的两个三

53、等分点,,,则的值是▲.【答案】【解析】因为,,因此,.【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=

54、a

55、

56、b

57、cosθ求解;②已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解;③用平面向量数量积的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.【解题技巧】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时,充分利用向量的线性运算,将所求向量用共同的基底表示出来,再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量在向量

58、方向上的投影有两种思路:思路1,用

59、

60、计算;思路2,利用计算.3.在计算向量数量积时,若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算,可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值,不是向量也不是线段长度,是一个实数,可以为正,也可以为负,还可以为0.3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.例已知平面向量a,b,c,下列说法中:①若a·b=a·c,则a=c;②a(b·c

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