2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点15 平面向量的数量积 文

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1、考点15平面向量的数量积【考点剖析】1.最新考试说明：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．2.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查．3.课本结论总结：（1）两个向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，作＝

2、a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（2）平面向量数量积①已知两个非零向量a与b，则数量

3、a

4、

5、b

6、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.向量的投影：

11、

12、叫向量在向量方向上的投影当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.②a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

13、a

14、与b在a的方向上的投影

15、b

16、cosθ的乘积．（3）向量数量

17、积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.②a⊥ba·b＝0.③a·a＝

18、a

19、2，.④cosθ＝.(θ为a与b的夹角)⑤

20、a·b

21、≤

22、a

23、

24、b

25、.（4）数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a.②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．（5）数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：①a·b＝a1b1＋a2b2.②a⊥ba1b1＋a2b2＝0.③

26、a

27、＝.④cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)4.名师二级结论：(1)向量b在a的方向上的投影为

28、b

29、cosθ=.（2）若向量a∥b，且b=，则可设a=.5.课

30、本经典习题：(1)新课标A版第108页，习题2.4A组第3题已知

31、

32、=2，

33、

34、=5，·=-3，求

35、+

36、,

37、-

38、.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题.(2)新课标A版第108页，习题2.4A组第7题已知

39、

40、=4，

41、

42、=3，(2-3)·(2+)=61，求与的夹角.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题.6.考点交汇展示：(1)与平面几何交汇【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为.【答案】【解析】试题分析：,则.(2)与不等式交汇1.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B2.【201

43、6高考浙江】已知向量a、b,｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜,则a·b的最大值是．【答案】【解析】，即最大值为.（3）与三角函数交汇【2016高考浙江】已知平面向量a，b，

44、a

45、=1，

46、b

47、=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则

48、a·e

49、+

50、b·e

51、的最大值是______．【答案】【解析】由已知得，不妨取，，设，则，取等号时与同号．所以，（其中，取为锐角）．显然易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到．故所求最大值为．【考点分类】热点1平面向量数量积及其几何意义1.【2017天津，理13】在中，，，.若，，

52、且，则的值为___________.【答案】2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.【答案】【解析】因为,,因此，．【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝

53、a

54、

55、b

56、cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；③用平面向量数量积的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【解题技巧】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则

57、求解.2.计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用

58、

59、计算;思路2，利用计算.3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.例已知平面向量a,b,c，下列说法中：①若a·b=a·c,则a=c；②a(b·c