平面向量的运算（线性运算和坐标运算高考数学（文）提分必备30个黄金考点 ---精校解析Word版

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1、【考点剖析】1.命题方向预测：（1）平面向量的线性运算是考查重点．共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.（2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.2.课本结论总结：（1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.②零向量：模为0的向量，记作，其方向为任意的，所以与任意向量平行，其性质有：=0，+=.③单位向量：模为1个长度单位的向量，与方向相同的

2、单位向量为.④相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=.⑤相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，的相反向量为-，有-(-)=.(2)向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ>0时，λa的方向与aλ(μa)＝(λμ)a；(λ＋的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0μ)a＝λa＋μa；λ(a＋

9、b)＝λa＋λb(3)平面向量基本定理若、是平面内不共线的向量，向量是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对，使.(4)共线向量①共线向量概念：若两个非零向量、的方向相同或相反，则称与共线，也叫与平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.①共线向量定理：∥（≠）存在唯一实数，使得=.②若=（，），=（，），则∥-=0.(5)平面向量的基本运算①若=（，），=（，），则±=（±，±），=（，），③A（，），B（，），则=（-，-）.3.名师二级结论：（1）若A、B、C三点共线且，则=1.（2）若向量不共线，，则（3）C是线段AB中点的充要条件是.(

10、4)若，则线段AB的中点坐标为（）.(4)G是△ABC的重心的充要条件为.(5)若△ABC的三个顶点坐标分别为，则△ABC重心坐标为(6)已知，且，则点C的坐标为.4.考点交汇展示：(1)三角函数交汇【2018届广东省汕头市潮南区高考(5月)冲刺】已知(1)若向量，，且∥，求的值.(2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围【答案】(1);(2).【解析】（1），即，所以.(2)与平面几何交汇【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.(3)与基本不等式交汇【黑龙江省2018年仿真

11、模拟（八）】在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解析】【考点分类】考向一平面向量的线性运算1.【2018届云南省红河州统一检测】在中，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点.故选2.【黑龙江省2018年仿真模拟（十一）】设是内一点，且，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】3.【2018届四川省成都市第七中学三诊】已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【方法规律】1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：（1）零向量的方

12、向及与其他向量的关系.（2）单位向量的长度与方向.2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小4.在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.5.当是线段AB的中点时，则=是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.1.当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.【解题技巧】1.进行向量

13、运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．3.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟