弹塑性力学总复习

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1、实用标准文案《弹塑性力学》课程期末复习总结第一篇基础理论部分第一章应力状态理论1.1基本概念1．应力的概念应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力和微分面上的剪应力。注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。2．一点的应力状态（1）一点的应力状态概念凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。（2）应力张量物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。应力张量概

2、念的提出，就是为了解决这个问题。在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面上的应力矢量就可以由以下公式求出：（1-1’a）（1-1’b）（1-1’c）由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力、正应力和剪应力：精彩文档实用标准文案（1-2a）（1-2b）（1-2c）（3）主平面、主方向与主应力由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的

3、特征问题：（1-3）式中，为该点应力张量分量构成的矩阵，为主应力，为主方向矢量。由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）必定存在实数的特征值，即主应力必然存在。求解主应力的特征方程如下：（1-4a）式中，I1、I2和I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且，（1-4b）（1-4c）（1-4d）应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。（5）最大剪应力在与主方向成450角的微分面内，剪应力取极值。若规定，则最大剪应力出现在过主应力轴而平分和轴的微分面上，并且精彩文档实用标准文案（1-5）（6）应力球量与应力偏量——应力张

4、量的分解（1-6）式中，和分别称为应力球量和应力偏量，并且。对应力偏量，可以类似于应力张量那样，得到其主值及其三个不变量：（1-7a）（1-7b）（1-7c）（1-7d）（7）八面体上正应力和剪应力（1-8a）（1-8b）1.2静力平衡方程（1-9a）（1-9b）（1-9c）精彩文档实用标准文案1.3静力边界条件三类边界：位移边界、应力边界和混合边界。尤其应注意应力边界条件的表示形式：（1-10a）（1-10b）（1-10c）第二章应变状态理论2.1基本概念1．位移、变形与应变位移：物体内各点位置的变化。变形：刚体位移+形状的改变。描述物体内微元体形状改变的

5、物理量，称为应变。应变分为两种不同的定义：正应变和剪应变。正应变用于描述微分平行六面体棱边的相对伸长量，剪应变用于描述棱边间夹角的变化。2．一点的应变状态（1）应变张量与一点的应力状态概念类似，为了描绘一点的应变状态，需要引进应变张量的概念。在直角坐标系里，应变张量可表示为（2）应变主方向、主应变与应变张量的不变量对物体内任一点，至少都可以找到3个相互垂直的方向，沿这些方向的微分线段在物体变形后仍相互保持垂直，具有这种性质的方向称为应变主方向，把这样方向的微分线段的正应变，称为主应变。与求解主应力、主方向一样，主应变、应变主方向的求解在数学上也归结为求解一个

6、特征问题：（2-1）求解主应变的特征方程如下：（2-2a）精彩文档实用标准文案式中，、和分别称为应变张量的第一、第二和第三不变量。并且，（2-2b）（2-2c）（2-2d）（4）应变球量与应变偏量——应变张量的分解（2-3）（5）体积应变（2-4）2.2几何方程（Cauchy方程），，，，（2-5）应注意工程剪应变与应变张量分量之间的区别：2.3应变协调方程（SaintVenant方程）——保证物体连续性的必要条件（2-6a）（2-6b）（2-6c）（2-6d）精彩文档实用标准文案（2-6e）（2-6f）第三章本构方程3.1基本概念1．线弹性体的广义Hook

7、e定律（3-1）2．弹性应变能的概念由于弹性体的变形而储存在物体内部的势能称为弹性应变能。单位体积的弹性应变能称为应变能密度，用表示。对弹性体，应变能密度函数可表示为以下的一般形式：（3-2a）对线弹性体，应变能密度函数的形式如下：（3-2b）3．几种常见的弹性体的基本概念（1）各向异性弹性体（2）具有一个弹性对称面的各向异性弹性体（3）正交各向异性弹性体（4）横贯各向同性弹性体（5）各向同性弹性体以上各种弹性体的概念，应注意结合实际工程背景去理解。4．各向同性弹性体的本构方程（1）用应力表示应变的形式（3-3a），，，剪切模量。精彩文档实用标准文案（2）用

8、应变表示应力的形式（3-3b），，式中，、称为拉梅常