空间向量在立体几何中的应用-决胜一轮高考数学（理）---精校解析 Word版

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1、跟踪知识梳理考纲解读：1.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念；能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中的工具性作用.考点梳理：1.法向量的有关概念及求法如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量.法向量的求法步骤：(1)设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)；(2)列：根据n·a=0且n·b=0可列出方程；(3)解：把z看作常数，用z表示x,y；(4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好)，便得平

2、面法向量n的坐标.2.立体几何中的向量方法(1)线线关系：若不重合的两直线AB、CD的方向向量分别为、.一般关系：设直线AB与CD所成的角为θ(θ∈[0,])，则cosθ=

3、cos〈,〉

4、=.特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD⊥(用于证明线线垂直);(ⅱ)AB∥CD∥存在实数λ,使(用于证明线线平行).(2)线面关系：若平面α外的直线AB的方向向量为，平面α的法向量为n.一般关系:设直线AB与平面α所成的角为θ(θ∈[0,])，则有sinθ=

5、cos〈,n〉

6、=.特殊关系：(ⅰ)AB⊥α∥n存在实数λ，使=λn(用于证明线面垂直)；(ⅱ)AB∥α⊥n·n=0(用于证

7、明线面平行).(3)面面关系：若平面α的法向量为n，平面β的法向量为m.一般关系:设以α,β为面的二面角为θ(θ∈[0,π]),则θ与〈n,m〉相等或互补.当二面角为锐(直)二面角时，cosθ=

8、cos〈n,m〉

9、=.当二面角为钝二面角时,cosθ=.特殊关系:(ⅰ)α⊥βn⊥m(用于证明面面垂直)；(ⅱ)α∥βn∥m存在实数λ，使⑨(用于证明面面平行).(4)点到平面的距离：若AB是平面α外的一条线段，B是AB与平面α的交点，平面α的法向量为n.设点A到平面α的距离为d,则d等于在n上的射影的绝对值.即d=

10、

11、

12、cos〈,n〉

13、=.(5)异面直线间的距离：

14、若异面直线AB、CD的方向向量分别为、，n⊥，n⊥，又M∈AB，P∈CD，则异面直线AB、CD间的距离d=.核心能力必练一、选择题1．(2018福建四地七校4月联考,10)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,则A1B与平面ABD所成角的余弦值为 ()A. B. C. D. 【答案】B易得=,=(0,-a,1).设A1B与面ABD所成角为θ,∴sinθ=

15、cos<,>

16、===,∴cosθ=.∴A1B与平面ABD所成角的余弦值为,故

17、选B.2．在平行六面体中，若，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，，，故选D.3．如图所示，已知空间四边形，其对角线为，，、分别为、的中点，点在线段上，且，若，则（）A．B．C．D．1【答案】C4．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，解得．故选D．5．已知点和向量，若向量，且，则B点的坐标为（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】设，则，依题意得解得或，则或.6．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别是，，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设所给坐标

18、可得球心的坐标为，故球的半径，所以球的表面积为，故选B.7．如图，四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是上一点，当二面角为时，（）A.B.C.D.【答案】D8．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设交于点，连结，则平面平面，又平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．9．已知，，，点在平面内，则（）A．B．C．D．【答案】B10．若平面α、β的法向量分别为＝(2,3,5)，＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均有可能【答

19、案】C【解析】由于，因此与不平行，又，所以与不垂直，从而平面α，β相交但不垂直．故选C．11．空间四边形中，若向量，，点，分别为线段，的中点，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取中点，连接，则，，所以，故选B.12．已知点A（1，1，1），点B（3，3，3），点P在x轴上，且

20、PA

21、=

22、PB

23、，则P点坐标为（）A．（6，0，0）B．（0，2，0）C．（0，0，6）D．（2，0，0）【答案】A13．直三棱柱中，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B．14．如图，在平行六面体中，为的交点．若，，则下列向量中与相等的向量是（）A．

24、B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．15．已知平